كيفية حساب حد الربح الرياضي

لماذا نفكر في «هامش الربح الرياضي» على الإطلاق

«هامش الربح الرياضي» هو نظريًا الحد الأقصى لمتوسط العائد الذي يمكنك أن تهدف إليه على مسافة طويلة تحت حدود معينة: قائمة التمويل الأولية، وملف تعريف المخاطر، وتباين اللعبة، وحدود الرهان، والوقت وعدد الجلسات. هذه ليست توقعات «كم ستفوز غدًا»، ولكنها حد أعلى لا يمكن تجاوزه بشكل مطرد دون زيادة مخاطر الخراب.

في الواقع، يتم تعيين الحد بثلاث طبقات من الرياضيات:

1. العائد المتوقع (المتوقع، EV).

2. المخاطر والانتشار (التباين/التقلب، خطر الخراب).

3. القيود (المصارف، والحدود، والأفق الزمني، وسقف السعر/السحب، والحواجز النفسية والتشغيلية).

1) الكمية الأساسية - التوقع (EV)

لرهان/جولة واحدة:

[
EV =\sum _ i p_i\cdot x_i
]

(p_i) - احتمال النتيجة، (x_i) - الربح/الخسارة بالقيمة النقدية.

إذا كان (EV <0) (كما هو الحال في معظم ألعاب الكازينو بسبب ميزة المؤسسة)، فإن حد الربح النظري على مسافة سالب: كلما زاد حجم اللعبة، كلما اقتربت النتيجة الفعلية من السالب.

إذا كان (EV> 0) (أقل شيوعًا: التحكيم الإضافي، وانحراف المعاملات، وخطأ التسعير)، فهناك حد إيجابي - ولكن سيتم «قطعه» بسبب المخاطر والقيود.

متوسط الدخل لكل جولة N:

[
\ mathbb {E} [\Pi _ N] = N\cdot EV
]

ومع ذلك، فإن مجرد «الضرب في N» يتجاهل التقلبات واحتمال الخروج من اللعبة قبل الوصول إلى N.

2) التباين والتقلب وخطر الخراب

يحدد التباين مدى تقلب النتائج حول المركبة الكهربائية. بالنسبة لنفس (EV)، تتطلب الإستراتيجية الأكثر تقلبًا رافعة مالية أصغر (حصة مصرفية) وتعطي معدل نمو آمنًا أقل.

المقياس العملي الرئيسي هو خطر الخراب (RoR): احتمال انخفاض البنك إلى مستوى حرج (على سبيل المثال، إلى الصفر أو «مستوى توقف» معين) قبل تحقيق ميزتك الطويلة.

بشكل حدسي: كلما زاد التباين وكلما زاد حجم الرهان، زاد معدل الرهان - وانخفض هامش الربح المستدام لأنك من المرجح أن «تسقط».

3) الحد من الربح من منظور نمو رأس المال (معيار السجل)

إذا كان الهدف هو الحد الأقصى للمعدل طويل الأجل لنمو رأس المال، يتم استخدام المنفعة اللوغاريتمية واختبار كيلي. بالنسبة لمعدل واحد «صغير» مع ميزة (هـ) (العائد المتوقع بالنسبة المئوية للدولار) والتقلب (\sigma)، في الاختبارات المستقلة، يتم تقريب معدل النمو الهامشي:

[
g\تقريبًا\mathbb {E} [\ln (1 + R) ]\تقريبًا e -\frac {\sigma ^ 2} {2}
]

حيث (R) هو العائد لكل جولة. يتم الوصول إلى الحد الأقصى بالمعدل الأمثل (f ^) (نصف كيلي/كيلي - اعتمادًا على شكل التوزيع ومخاطرك).

معيار كيلي (بديهي)

للحصول على ميزة برنوليان (على سبيل المثال «الرهان مع احتمال الفوز (ع) والمعامل (ب) إلى 1 «):

[
f ^ =\frac {bp- (1-p)} {b}
]

معنى اللعبة: نضع حصة البنك متناسبة مع الميزة ومتناسبة عكسياً مع سعر الخطأ.

هامش الربح بمعنى السجل هو الحد الأقصى لمعدل النمو المستدام الذي تم تحقيقه عند (f ^). أي معدل أعلى (f ^) يزيد من خطر «الانسحاب العميق» ويقلل من النمو طويل الأجل (الإفراط في التحمل «يأكل» الميزة).

من الناحية العملية، نصف كيلي (0. 5 × (و ^)) في كثير من الأحيان لتقليل التقلبات وخطر الخراب مع عدم فقدان معدل النمو في الآفاق الحقيقية والنهائية.

4) الأفق الزمني و «الحد الأقصى» لقيود البنية التحتية

حتى مع (EV> 0) والكفء (f ^)، يتم قطع «السقف الرياضي» الخاص بك:

حدود السعر والدوران (الحد الأقصى للسعر والتردد وحدود الإيداع/السحب).
مصدر الوقت (كم عدد الجولات/الأحداث التي تلعبها حقًا خلال الفترة).
تضاؤل الميزة بمرور الوقت (تكيف السوق، تغير الأسهم/المكافآت).
القيود النفسية (التعب، القرارات الخاطئة في عمليات السحب).

خلاصة القول: الحد الحقيقي = «حد السجل المثالي» × «معامل إمكانية الوصول»، والذي غالبًا ما يكون أقل من 1 بسبب ما سبق.

5) منهجية العمل لتقدير «الحد الرياضي»

لنفترض أنك تقوم بتحليل استراتيجية/لعبة وتريد الحصول على معلم من الحد الأعلى.

الخطوة 1. معدل EV والفرق بين جولة واحدة

بناء جدول النتائج: الاحتمالات والمدفوعات والتكاليف.

احسب (EV).

تقدير الفرق (\mathrm {Var} (R)) والانحراف المعياري (\sigma) للعوائد لكل جولة.

الخطوة 2. حدد مقياس حد الهدف

معدل نمو رأس المال (معيار اللوغاريتم) - للمسافات اللانهائية/الطويلة والهدف الرئيسي المتمثل في «النمو بأسرع ما يمكن».

الربح المتوقع عند RoR محدود - إذا كان من المهم إبقاء خطر الخراب أقل من عتبة معينة (على سبيل المثال، أقل من 1٪).

الخطوة 3. ابحث عن السعر الأمثل (و)

استخدم صيغة كيلي (أو تقريباتها).

بالنسبة للتوزيعات المعقدة (الفتحات، معدلات المصادر المتعددة)، بحث رقمي (و) يزيد من (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).

في لعبة عملية، استخدم نصف كيلي أو جزء من كيلي (⅓- ½) كحل وسط بين النمو والسحب.

الخطوة 4. توقعات النمو المستدام

مع «صغير» (f): (g\حوالي f\cdot e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}).

الحد الأقصى (ز) في (و = و ^). هذا هو الحد الرياضي للنمو المستدام دون المبالغة في المخاطر.

الخطوة 5. مراعاة حدود و «سقف» الحجم

تحديد الكمية المتاحة من الجولات لكل فترة (الوقت × سرعة اللعبة × الحدود).

ضع في اعتبارك سقف الربح من حدود السعر/الدفع.

تحقيق فائدة من التدهور (التغييرات المتوقعة في القاعدة/المخزون/المجموعة).

النتيجة: الحد السنوي = (g_{\text{ustoychivyy}}) × العدد الفعلي لدورات النمو × نسبة إمكانية الوصول (0. 5–0. 9 حسب الحقائق).

6) سقف الأرباح على EV السلبي

إذا (EV <0)، فلن يؤدي أي تقدم في المعدل إلى إنشاء سقف موجب. سيعطي معيار السجل معدل نمو سالب، والكسر الأمثل (f ^) يميل إلى الصفر (أي عدم اللعب).

الرياضيات الوحيدة التي ترفع «الحد» في لعبة ناقص هي انخفاض معدل الدوران (تلعب أقل → تخسر أقل) أو البحث عن مركبة فرعية إيجابية داخل النظام البيئي (المكافآت، استرداد النقود، عودة الراك، كبار الشخصيات)، والتي تحول الجنرال (EV) إلى غير سلبي.

7) حاسبة مصغرة عملية (نسخة ورقية)

1. معدل (EV) لكل 100 وحدة رهان: على سبيل المثال، (+ 1. 5٪) → (e = 0. 015).

2. المعدل (\sigma) لكل جولة (حسب سجل الجلسات أو من جدول النتائج). دع (\sigma = 0. 2) (20%).

3. تقريب الكسر الأمثل (f ^\حوالي\frac {e} {\sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5٪) - تقريبية، لكنها تعطي النظام. خذ ⅓ حقًا - ½ من هذا (12-20٪).

4. قيم معدل النمو السنوي الخاص بك: (g\approach f e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}). على (f = 0. 2):

[
ز/تقريبا 0. 2/cdot0. 015 -\frac {(0. 2/cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 -\frac {0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22٪ )\نص {لكل جولة}
]

ضرب في عدد الجولات «المستقلة» في السنة (مع مراعاة الحدود والواقعية) للحصول على معيار. إذا كان هناك 5000 جولة، ~ نمو السجل المتوقع (1 - e ^ {-0. 022 }\تقريبا 2. 2 في المائة) (لوغاريتم - ج النسبة المئوية للتفسير ؛ وستكون الديناميات النقدية الفعلية أوسع نطاقا بسبب التباين).

مهم: هذا تبسيط. في الفتحات، يصبح توزيع الذيول الثقيلة حقيقيًا (f ^) أقل ويتطلب عمليات محاكاة.

8) الأخطاء الشائعة في تقدير الحدود

تجاهل التباين: اقرأ فقط EV والمقياس خطياً.

الإفراط في التحريض: وضع المزيد من Kelly → نموًا هائلاً في عمليات السحب، وانخفاض الربحية على المدى الطويل.

إعادة تقييم استقلالية النتائج: تقلل الأحداث المترابطة من العدد الفعلي للمحاولات.

تجاهل القيود: حدود الأسعار/المدفوعات، الوقت، الحد الأقصى الترويجي - كل هذا يقطع السقف «المثالي».

تحيز الناجين: اعتمد على «مثل في أفضل حلقة»، وليس السيناريو العادي.

9) الصياغة النهائية لـ «الحد الرياضي للربح»

هامش الربح الرياضي لاستراتيجية بعيدة المدى هو الحد الأقصى لمعدل مستدام لنمو رأس المال مع خطر مقبول من الخراب والقيود المعطاة. يتم تعريفه من خلال:

1. والتوقيع والقيمة (EV) ؛

2. وتباين/تقلب النتائج ؛

3. حصة السعر الأمثل (حصة كيلي/كيلي) ؛

4. حدود حقيقية لحجم اللعبة والبنية التحتية.

إذا كان (EV\le 0) - لا يوجد حد «أعلى من الصفر». إذا (EV> 0)، يتم تحقيق نمو هامشي في الحالة الثابتة بجزء متحفظ من Kelly، مع الأخذ في الاعتبار القيود والارتباطات.

10) قائمة مرجعية للممارسة

تأكد من أن إجمالي EV ≥ 0 (يشمل المكافآت/استرداد النقود/الاسترداد/العروض الترويجية).

تقييم (\sigma) وذيول التوزيع (ذيول ثقيلة → تقليل النسبة).

احسب (f ^) وطبق كسر كيلي (⅓ - ½) في البداية.

التحكم بإحكام في RoR والحد الأقصى للسحب (DD).

قم بتحديث النموذج عند تغيير القواعد/الحدود/السوق.

جلسات الالتقاط ونتائج التحديث (EV) و (\sigma) و (f) و «نسبة الوصول».

سيجعل هذا الانضباط من الممكن تحويل الفكرة المجردة لـ «السقف الرياضي» إلى أداة تخطيط عمل، وإبقاء المخاطر تحت السيطرة ولا تستهدف حظًا سعيدًا لمرة واحدة، ولكن إلى نتيجة مستقرة وقابلة للتكرار.