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So berechnen Sie die mathematische Gewinngrenze
Warum überhaupt eine „mathematische Gewinngrenze“ in Betracht ziehen
Die „mathematische Gewinngrenze“ ist theoretisch die maximale durchschnittliche Rendite, die Sie über eine lange Distanz mit den angegebenen Einschränkungen anstreben können: anfängliche Bankroll, Risikoprofil, Spielvarianz, Einsatzlimits, Zeit und Anzahl der Sitzungen. Es ist keine Prognose, „wie viel Sie morgen gewinnen werden“, sondern eine Obergrenze, die nicht nachhaltig überschritten werden kann, ohne das Risiko des Ruins zu erhöhen.
Grundsätzlich setzen drei Schichten der Mathematik die Grenze:1. Erwartete Rendite (Erwartung, EV).
2. Risiko und Streuung (Varianz/Volatilität, Ruinenrisiko).
3. Einschränkungen (Bank, Limits, Zeithorizont, Wett-/Auszahlungslimits, psychologische und operative Barrieren).
1) Grundgröße - Mathematische Erwartung (EV)
Für eine Wette/Runde:[
EV = \sum_i p_i \cdot x_i
]wobei (p_i) die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses, (x_i) der Gewinn/Verlust in Geldausdruck ist.
Wenn (EV <0) (wie bei den meisten Casino-Spielen aufgrund des Vorteils der Institution), ist die theoretische Gewinngrenze für die Entfernung negativ: Je größer das Spielvolumen, desto näher ist das tatsächliche Ergebnis dem Minus.
Wenn (EV> 0) (seltener: Bonusarbitrage, Quotenverschiebung, Preisfehler), gibt es eine positive Grenze - aber sie wird durch Risiko und Einschränkungen „abgeschnitten“.
Durchschnittlicher Gewinn in N Runden:[
\mathbb{E}[\Pi_N] = N \cdot EV
]Ein einfaches „Multiplizieren mit N“ ignoriert jedoch die Volatilität und die Wahrscheinlichkeit, das Spiel zu verlassen, bevor N erreicht wird.
2) Varianz, Volatilität und Risiko des Ruins
Die Varianz bestimmt, wie stark die Ergebnisse um die EV schwanken. Für den gleichen (EV) erfordert eine volatilere Strategie einen geringeren Hebel (Bankanteil) und eine geringere sichere Wachstumsrate.
Eine wichtige praktische Metrik ist das Risiko des Ruins (RoR): die Wahrscheinlichkeit, dass eine Bank auf ein kritisches Niveau fällt (z. B. auf Null oder ein bestimmtes „Stop-Level“), bevor Ihr langer Vorteil realisiert wird.
Intuitiv: Je höher die Varianz und je aggressiver die Einsatzhöhe, desto höher der RoR - und desto niedriger die stetige Gewinngrenze, weil man öfter „aus dem Spiel fällt“.
3) Gewinngrenze durch das Prisma des Kapitalwachstums (Log-Test)
Wenn das Ziel die maximale langfristige Kapitalwachstumsrate ist, werden der logarithmische Nutzen und das Kelly-Kriterium verwendet. Für eine „kleine“ Wette mit Vorteil (e) (erwartete Rendite in Prozent pro Dollar) und Volatilität (\sigma) wird in unabhängigen Tests die marginale Wachstumsrate approximiert:[
g \approx \mathbb{E}[\ln(1+R)] \approx e - \frac{\sigma^2}{2}
]wobei (R) die Rendite pro Runde ist. Das Maximum wird mit dem optimalen Einsatz-Anteil (f ^) erreicht (halb Kelly/Kelly - je nach Verteilungsform und Risiko).
Kelly-Kriterium (intuitiv)
Für den Bernulli-Vorteil (z. B. „Wette mit Gewinnwahrscheinlichkeit (p) und Koeffizient (b) zu 1 „):[
f^=\frac{bp-(1-p)}{b}
]Spielerische Bedeutung: Wir setzen den Anteil der Bank proportional zum Vorteil und umgekehrt proportional zum Fehlerpreis.
Die Gewinngrenze im Log-Sinne ist das Maximum einer stetigen Wachstumsrate, die bei (f ^) erreicht wird. Jede Wette über (f ^) erhöht das Risiko eines „tiefen Drawdowns“ und verringert das langfristige Wachstum (Overbetting „frisst“ den Vorteil).
In der Praxis wird Paul Kelly (0,5 × (f ^)) häufig verwendet, um die Volatilität und das Risiko des Ruins fast ohne Verlust der Wachstumsrate auf realen, endgültigen Horizonten zu reduzieren.
4) Zeithorizont und „Cap“ der Infrastrukturbeschränkungen
Selbst wenn (EV> 0) und kompetent (f ^), wird Ihre „mathematische Obergrenze“ getrimmt:- Einsatz- und Umsatzlimits (max. Einsatz, Häufigkeit, Ein-/Auszahlungslimits).
- Zeitressource (wie viele Runden/Ereignisse Sie tatsächlich in einem Zeitraum spielen).
- Abnehmender Vorteil im Laufe der Zeit (der Markt passt sich an, Aktien/Boni ändern sich).
- Psychologische Einschränkungen (Müdigkeit, falsche Entscheidungen in Drawdowns).
Fazit: reales Limit = „ideales Log-Limit“ × „Erreichbarkeitsfaktor“, der aufgrund des oben genannten oft unter 1 liegt.
5) Arbeitsmethode zur Bewertung der „mathematischen Grenze“
Angenommen, Sie analysieren eine Strategie/ein Spiel und möchten einen oberen Grenzbezug erhalten.
Schritt 1. Bewerten Sie die EV und Varianz einer Runde
Erstellen Sie eine Tabelle der Ergebnisse: Wahrscheinlichkeiten, Auszahlungen, Kosten.
Zählen Sie (EV).
Schätzen Sie die Varianz (\mathrm {Var} (R)) und die Standardabweichung (\sigma) der Rendite pro Runde.
Schritt 2. Wählen Sie eine Zielgrenzmetrik aus
Die Wachstumsrate des Kapitals (Log-Kriterium) ist für die unendliche/lange Distanz und das Hauptziel „so schnell wie möglich zu wachsen“.
Erwarteter Gewinn bei begrenztem RoR - wenn es wichtiger ist, das Risiko des Ruins unter einer bestimmten Schwelle zu halten (z. B. <1%).
Schritt 3. Finden Sie den optimalen Wettanteil (f)
Verwenden Sie die Kelly-Formel (oder ihre Annäherung).
Für komplexe Verteilungen (Slots, Multi-Rate) eine numerische Suche (f), die maximiert (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).
Verwenden Sie im praktischen Spiel einen halben Kelly oder einen Teil von Kelly (⅓ - ½) als Kompromiss zwischen Wachstum und Drawdown.
Schritt 4. Prognose einer nachhaltigen Wachstumsrate
Bei „klein“ (f): (g\approx f\cdot e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}).
Maximum (g) bei (f = f ^). Dies ist die mathematische Grenze für nachhaltiges Wachstum ohne übertriebenes Risiko.
Schritt 5. Beachten Sie die Einschränkungen und „cap“ Volumen
Bestimmen Sie die verfügbaren Runden pro Zeitraum (Zeit × Spielgeschwindigkeit × Limits).
Berücksichtigen Sie die Cap-Gewinne aus den Einsatz-/Auszahlungslimits.
Degradierung des Vorteils vornehmen (erwartete Regeländerungen/Anteile/Pool).
Ergebnis: Jahresgrenze = (g_{\text{ustoychivyy}}) × effektive Anzahl der Wachstumszyklen × Erreichbarkeitsfaktor (0. 5–0. 9 in Abhängigkeit von der Realität).
6) Gewinngrenze bei negativer EV
Wenn (EV <0), wird kein Wettverlauf ein positives Limit erzeugen. Das Log-Kriterium ergibt eine negative Wachstumsrate, und der optimale Anteil (f ^) tendiert zu Null (dh nicht zu spielen).
Die einzige Mathematik, die das „Limit“ im Minusspiel erhöht, ist der Rückgang des Umsatzes (Sie spielen weniger → Sie verlieren weniger) oder die Suche nach einem positiven Sub-EV innerhalb des Ökosystems (Boni, Cashback, Rakeback, VIP-Status), der den allgemeinen (EV) in einen nicht negativen verwandelt.
7) Praktischer Minirechner (Papierversion)
1. Bewerte (EV) für 100 Einsatzeinheiten: z.B. (+ 1. 5%) → (e=0. 015).
2. Bewertung (\sigma) pro Runde (nach Sitzungsprotokoll oder aus der Ergebnistabelle). Lassen Sie (\sigma = 0. 2) (20%).
3. Die Approximation des optimalen Anteils (f ^\approx\frac {e} {\sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5%) ist grob, gibt aber Ordnung. Nehmen Sie wirklich ⅓ - ½ davon (12-20%).
4. Schätzen Sie die jährliche Wachstumsrate: (g\approx f e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}). Bei (f = 0. 2):[
g \approx 0. 2\cdot0. 015 - \frac{(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 - \frac{0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22% )\text {pro Runde}
]Multiplizieren Sie mit der Anzahl der „unabhängigen“ Runden pro Jahr (unter Berücksichtigung der Grenzen und des Realismus), um eine Benchmark zu erhalten. Bei 5.000 Runden ist das erwartete Log-Wachstum ~ (1 - e ^ {-0. 022}\approx 2. 2%) (log-to komplexe prozentuale Interpretation; die tatsächliche monetäre Dynamik wird aufgrund der Varianz breiter sein).
Wichtig: Es ist eine Vereinfachung. In Slots machen die schweren Schwanzverteilungen die reale (f ^) niedriger und erfordern Simulationen.
8) Häufige Fehler bei der Grenzwertschätzung
Varianz ignorieren: Nur EV zählen und linear skalieren.
Overbetting: Setzen Sie mehr Kelly → explosive Drawdowns, sinkende langfristige Renditen.
Neubewertung der Unabhängigkeit der Ergebnisse: Korrelierte Ereignisse reduzieren die effektive Anzahl der Versuche.
Ignorieren Sie die Einschränkungen: Einsatz-/Auszahlungslimits, Zeit, Cap-Promo - all dies schneidet die „perfekte“ Decke ab.
Die Verdrängung des Überlebenden: Zählen Sie auf „wie in der besten Serie“, nicht auf das mittlere Szenario.
9) Die endgültige Formulierung der „mathematischen Gewinngrenze“
Die mathematische Gewinngrenze für eine Langstreckenstrategie ist das Maximum einer stetigen Kapitalwachstumsrate mit dem zulässigen Risiko des Ruins und den gegebenen Grenzen. Es wird definiert durch:1. Zeichen und Größe (EV);
2. Varianz/Volatilität der Ergebnisse;
3. der optimale Einsatz-Anteil (Kelly/Kelly-Anteil);
4. reale Grenzen des Spielvolumens und der Infrastruktur.
Wenn (EV\le 0) - Die Grenze „über Null“ existiert nicht. Wenn (EV> 0), wird das ultimative stetige Wachstum mit dem konservativen Anteil von Kelly erreicht, wobei Einschränkungen und Korrelationen berücksichtigt werden.
10) Checkliste für die Praxis
Bestätigen Sie, dass Ihr Gesamt-EV ≥ 0 ist (einschließlich Boni/Cashback/Rakeback/Promotions).
Bewerten Sie (\sigma) und die Schwänze der Verteilung (schwere Schwänze → reduzieren Sie den Anteil).
Berechnen Sie (f ^) und verwenden Sie den Kelly-Anteil (⅓ - ½) zu Beginn.
Kontrollieren Sie den RoR und den maximalen Drawdown (DD) streng.
Aktualisieren Sie das Modell, wenn sich die Regeln/Grenzen/der Markt ändern.
Halten Sie Sitzungen fest, aktualisieren Sie die Schätzungen (EV), (\sigma), (f) und „Erreichbarkeitsfaktor“.
Diese Disziplin wird es ermöglichen, die abstrakte Idee der „mathematischen Obergrenze“ in ein Arbeitsinstrument der Planung zu verwandeln, das Risiko unter Kontrolle zu halten und nicht auf einmaliges Glück, sondern auf ein nachhaltiges, reproduzierbares Ergebnis zu zielen.