Τρόπος υπολογισμού του μαθηματικού ορίου κέρδους

Γιατί σκεφτείτε ένα «μαθηματικό περιθώριο κέρδους»

Το «μαθηματικό περιθώριο κέρδους» είναι θεωρητικά η μέγιστη μέση απόδοση που μπορείτε να στοχεύσετε σε μια μεγάλη απόσταση κάτω από συγκεκριμένα όρια: αρχική τράπεζα, προφίλ κινδύνου, διακύμανση παιχνιδιού, όρια στοιχημάτων, χρόνος και αριθμός συνεδριών. Δεν πρόκειται για πρόβλεψη «πόσα κερδίζεις αύριο», αλλά για ένα ανώτατο όριο που δεν μπορεί να ξεπεραστεί σταθερά χωρίς να αυξάνεται ο κίνδυνος καταστροφής.

Στην πραγματικότητα, το όριο ορίζεται από τρία στρώματα μαθηματικών:

1. Αναμενόμενη απόδοση (αναμενόμενη, EV).

2. Κίνδυνος και περιθώριο (διακύμανση/μεταβλητότητα, κίνδυνος καταστροφής).

3. Περιορισμοί (τράπεζες, όρια, χρονικός ορίζοντας, ανώτατο ποσοστό/όριο απόσυρσης, ψυχολογικά και λειτουργικά εμπόδια).

1) Βασική ποσότητα - Προσδοκία (EV)

Για ένα στοίχημα/γύρο:

[
EV =\sum _ i p_i\cdot x_i
]

όπου (p_i) - πιθανότητα αποτελέσματος, (x_i) - αποτελέσματα σε χρηματικούς όρους.

Εάν (EV <0) (όπως στα περισσότερα παιχνίδια καζίνο λόγω του πλεονεκτήματος της εγκατάστασης), το θεωρητικό όριο κέρδους σε απόσταση είναι αρνητικό: όσο μεγαλύτερος είναι ο όγκος του παιχνιδιού, τόσο πιο κοντά είναι το πραγματικό αποτέλεσμα στο μείον.

Εάν (EV> 0) (λιγότερο συχνά: διαιτησία bonus, στρέβλωση των συντελεστών, σφάλμα τιμολόγησης), υπάρχει ένα θετικό όριο - αλλά θα «αποκοπεί» από τον κίνδυνο και τους περιορισμούς.

Μέσες αποδοχές ανά γύρο N:

[
\ mathbb {E} [\Pi _ N] = N\cdot EV
]

Ωστόσο, απλά «πολλαπλασιάζεται με N» αγνοεί την μεταβλητότητα και την πιθανότητα να βγει από το παιχνίδι πριν φτάσει στο N.

2) Διακύμανση, μεταβλητότητα και κίνδυνος καταστροφής

Η διακύμανση καθορίζει πόσο ευρέως τα αποτελέσματα θα κυμαίνονται γύρω από το ΗΟ. Για την ίδια (EV), μια πιο ευμετάβλητη στρατηγική απαιτεί μικρότερη μόχλευση (μερίδιο τράπεζας) και χαμηλότερο ρυθμό ασφαλούς ανάπτυξης.

Η βασική πρακτική μέτρηση είναι το Risk of Ruin (RoR): η πιθανότητα ότι μια τράπεζα θα πέσει σε κρίσιμο επίπεδο (για παράδειγμα, στο μηδέν ή σε δεδομένο «stop level») πριν πραγματοποιηθεί το μεγάλο πλεονέκτημα σας.

Διαισθητικά: Όσο μεγαλύτερη είναι η διακύμανση και τόσο πιο επιθετικό είναι το μέγεθος του στοιχήματος, τόσο υψηλότερο είναι το RoR - και τόσο χαμηλότερο είναι το βιώσιμο περιθώριο κέρδους επειδή είναι πιο πιθανό να «πέσει έξω».

3) Όριο κέρδους μέσω του πρίσματος της αύξησης του κεφαλαίου (λογιστικό κριτήριο)

Αν ο στόχος είναι ο μέγιστος μακροπρόθεσμος ρυθμός αύξησης κεφαλαίου, χρησιμοποιείται λογαριθμική χρησιμότητα και δοκιμή της Κέλι. Για ένα «μικρό» ποσοστό με πλεονέκτημα (ε) (αναμενόμενη απόδοση σε ποσοστό ανά δολάριο) και μεταβλητότητα (\sigma), σε ανεξάρτητες δοκιμές, ο οριακός ρυθμός ανάπτυξης προσεγγίζεται:

[
g\approx\mathbb {E} [\ln (1 + R) ]\approx e -\frac {\sigma  2} {2}
]

όπου (R) είναι η απόδοση ανά γύρο. Το μέγιστο επιτυγχάνεται με τον βέλτιστο ρυθμό (f ) (μισό-Kelly/Kelly - ανάλογα με τη μορφή της κατανομής και τον κίνδυνο σας).

Κριτήριο Kelly (διαισθητικό)

Για το πλεονέκτημα της Βερνούλιας (π.χ. «στοίχημα με πιθανότητα νίκης (p) και συντελεστή (b) έως 1 «):

[
f  =\frac {bp- (1-p)} {b}
]

Το παιχνίδι σημαίνει: βάζουμε το μερίδιο της τράπεζας ανάλογο με το πλεονέκτημα και αντιστρόφως ανάλογο με την τιμή του σφάλματος.

Το περιθώριο κέρδους κατά την έννοια του λογαρίθμου είναι ο μέγιστος σταθερός ρυθμός ανάπτυξης που επιτυγχάνεται στο (στ). Κάθε ποσοστό που υπερβαίνει το στοιχείο στ) αυξάνει τον κίνδυνο «βαθιάς ανάληψης» και μειώνει τη μακροπρόθεσμη ανάπτυξη (το πλεονέκτημα υπερεκτιμάται).

Στην πράξη, half-Kelly (0. 5 × (f ())) χρησιμοποιείται συχνά για τη μείωση της μεταβλητότητας και του κινδύνου καταστροφής χωρίς σχεδόν καμία απώλεια του ρυθμού ανάπτυξης σε πραγματικούς, τελικούς ορίζοντες.

4) Χρονικός ορίζοντας και «ανώτατο όριο» περιορισμών υποδομής

Ακόμη και με (EV> 0) και ικανό (f ), το «μαθηματικό ανώτατο όριο» σας μειώνεται:

Όρια ποσοστού και κύκλου εργασιών (μέγιστο ποσοστό, συχνότητα, όρια καταθέσεων/απόσυρσης).
Χρονικός πόρος (πόσοι γύροι/γεγονότα παίζετε πραγματικά κατά τη διάρκεια της περιόδου).
Μείωση του πλεονεκτήματος με την πάροδο του χρόνου (προσαρμογή της αγοράς, μεταβολή αποθεμάτων/πριμοδοτήσεων).
Ψυχολογικοί περιορισμοί (κόπωση, εσφαλμένες αποφάσεις σε αναλήψεις).

Κάτω γραμμή: πραγματικό όριο = «ιδανικό όριο καταγραφής» × «συντελεστής προσβασιμότητας», ο οποίος είναι συχνά κάτω του 1 λόγω των ανωτέρω.

5) Μέθοδος εργασίας για την εκτίμηση του «μαθηματικού ορίου»

Ας υποθέσουμε ότι αναλύετε μια στρατηγική/παιχνίδι και θέλετε να πάρετε ένα ορόσημο του ανώτερου ορίου.

Βήμα 1. Ρυθμός EV και διακύμανση ενός γύρου

Κατάρτιση πίνακα αποτελεσμάτων: πιθανότητες, πληρωμές, κόστος.

Υπολογισμός (EV).

Υπολογίστε τη διακύμανση (\mathrm {Var} (R)) και την τυπική απόκλιση (\sigma) των επιστροφών ανά γύρο.

Βήμα 2. Επιλέξτε μια μέτρηση ορίου στόχου

Ρυθμός αύξησης κεφαλαίου (λογιστικό κριτήριο) - για άπειρες/μεγάλες αποστάσεις και κύριος στόχος της «όσο το δυνατόν ταχύτερης ανάπτυξης».

Αναμενόμενο κέρδος με περιορισμένο RoR - εάν είναι πιο σημαντικό να διατηρηθεί ο κίνδυνος καταστροφής κάτω από ένα δεδομένο όριο (για παράδειγμα, <1%).

Βήμα 3. Αναζήτηση του βέλτιστου μεριδίου επιτοκίου (f)

Χρησιμοποιήστε τον τύπο Kelly (ή τις προσεγγίσεις του).

Για μιγαδικές κατανομές (slots, multi-source rates), μια αριθμητική αναζήτηση (f) που μεγιστοποιεί (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).

Σε ένα πρακτικό παιχνίδι, χρησιμοποιήστε τη μισή Kelly ή μέρος της Kelly ως συμβιβασμό μεταξύ ανάπτυξης και ανάληψης.

Βήμα 4. Πρόβλεψη βιώσιμης ανάπτυξης

Με «μικρό» (f): (g\περίπου f\cdot e -\frac {(f\sigma) 2} {2}).

Μέγιστο (g) at (f = f ). Αυτό είναι το μαθηματικό όριο της βιώσιμης ανάπτυξης χωρίς υπερβολικό κίνδυνο.

Βήμα 5. Να ληφθούν υπόψη οι περιορισμοί και το «ανώτατο όριο» του όγκου

Προσδιορίζεται η διαθέσιμη ποσότητα γύρων ανά περίοδο (χρόνος × ταχύτητα παιχνιδιού × όρια).

Εξετάστε το ανώτατο όριο κέρδους από τα όρια επιτοκίου/εκταμίευσης.

Επίτευξη οφέλους υποβάθμισης (αναμενόμενες αλλαγές κανόνα/αποθέματος/ομάδας).

Αποτέλεσμα: ετήσιο όριο = (g_{\text{ustoychivyy}}) × πραγματικός αριθμός κύκλων ανάπτυξης × λόγος προσβασιμότητας (0. 5–0. 9 ανάλογα με την πραγματικότητα).

6) Ανώτατο όριο αποδοχών σε αρνητικό EV

Εάν (EV <0), κανένας ρυθμός εξέλιξης δεν θα δημιουργήσει θετικό ανώτατο όριο. Το λογάριθμο-κριτήριο θα δώσει αρνητικό ρυθμό ανάπτυξης, και το βέλτιστο κλάσμα τείνει στο μηδέν (δηλαδή, να μην παίξει).

Τα μόνα μαθηματικά που αυξάνουν το «όριο» σε ένα παιχνίδι μείον είναι η μείωση του κύκλου εργασιών (παίζετε λιγότερο → χάνετε λιγότερο) ή μια αναζήτηση για ένα θετικό υπο-EV μέσα στο οικοσύστημα (μπόνους, cashback, rakeback, VIP status), που μετατρέπουν το γενικό (EV) σε μη αρνητικό.

7) Πρακτική μίνι αριθμομηχανή (έντυπη έκδοση)

1. Συντελεστής (EV) ανά 100 μονάδες στοιχήματος: για παράδειγμα, (+ 1. 5%) → (e = 0. 015).

2. Ρυθμός (\sigma) ανά γύρο (με καταγραφή συνεδρίας ή από τον πίνακα αποτελεσμάτων). Ας (\sigma = 0. 2) (20%).

3. Προσέγγιση του βέλτιστου κλάσματος (f \περίπου\frac {e} {\sigma 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5%) - τραχύ, αλλά δίνει παραγγελία. Πάρτε πραγματικά ⅓ - ® από αυτό (12-20%).

4. Ρυθμός ετήσιας ανάπτυξης: (g\προσέγγιση f e -\frac {(f\sigma) 2} {2}). Στο (f = 0. 2):

[
g\περίπου 0. 2\cdot0. 015 -\frac {(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 -\frac {0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22% )\κείμενο {ανά γύρο}
]

Πολλαπλασιάζεται επί τον αριθμό των «ανεξάρτητων» γύρων ετησίως (λαμβάνοντας υπόψη τα όρια και τον ρεαλισμό) για να επιτευχθεί ένα σημείο αναφοράς. Αν υπάρχουν 5.000 γύροι, το αναμενόμενο log growth ~ (1 - e {-0. 022 }\περίπου 2. 2%) (log-c πολύπλοκη ποσοστιαία ερμηνεία· η πραγματική νομισματική δυναμική θα είναι ευρύτερη λόγω της διακύμανσης).

Σημαντικό: πρόκειται για απλούστευση. Στις χρονοθυρίδες, η κατανομή των βαρέων ουρών γίνεται πραγματική (f ®) χαμηλότερη και απαιτεί προσομοιώσεις.

8) Κοινά σφάλματα στην εκτίμηση των ορίων

Αγνοήστε τη διακύμανση: διαβάστε μόνο EV και κλιμακώστε γραμμικά.

Overbetting: Αύξηση της εκρηκτικής αύξησης των αναλήψεων, μείωση της μακροπρόθεσμης αποδοτικότητας της Kelly.

Επαναξιολόγηση της ανεξαρτησίας των αποτελεσμάτων: Τα συσχετιζόμενα γεγονότα μειώνουν τον πραγματικό αριθμό των προσπαθειών.

Αγνοώντας τους περιορισμούς: όρια των συντελεστών/πληρωμών, χρόνος, ανώτατα όρια - όλα αυτά μειώνουν το «ιδανικό» ανώτατο όριο.

Προκατάληψη επιζώντος: Μετρήστε στο «όπως στο καλύτερο επεισόδιο», όχι το μέσο σενάριο.

9) Η τελική διατύπωση του «μαθηματικού ορίου κέρδους»

Το μαθηματικό περιθώριο κέρδους για μια στρατηγική μεγάλης εμβέλειας είναι το μέγιστο σταθερό ποσοστό αύξησης του κεφαλαίου με αποδεκτό κίνδυνο καταστροφής και δεδομένων περιορισμών. Ορίζεται από:

1. σύμβολο και τιμή (EV)·

2. διακύμανση/μεταβλητότητα των αποτελεσμάτων·

3. βέλτιστο ποσοστό (μερίδιο Kelly/Kelly)·

4. πραγματικά όρια για τον όγκο του παιχνιδιού και της υποδομής.

Αν (EV\le 0) - δεν υπάρχει όριο «πάνω από το μηδέν». Εάν (EV> 0), η οριακή ανάπτυξη σε σταθερή κατάσταση επιτυγχάνεται με συντηρητικό κλάσμα από την Kelly, λαμβάνοντας υπόψη περιορισμούς και συσχετισμούς.

10) Κατάλογος πρακτικών

Επιβεβαιώστε ότι το σύνολο σας EV ≥ 0 (περιλαμβάνει μπόνους/cashback/rackback/promotions).

Αποτίμηση (\sigma) και ουρές κατανομής (βαριές ουρές → μειωμένη αναλογία).

Υπολογίστε (f ⅓) και εφαρμόστε το κλάσμα του Kelly στην αρχή.

Έλεγχος της RoR και της μέγιστης ανάληψης (DD).

Επικαιροποίηση του μοντέλου όταν μεταβάλλονται οι κανόνες/τα όρια/η αγορά.

Συνεδρίες σύλληψης, βαθμολογίες ενημέρωσης (EV), (\sigma), (f), και «αναλογία προσβασιμότητας».

Αυτή η πειθαρχία θα καταστήσει δυνατή τη μετατροπή της αφηρημένης ιδέας ενός «μαθηματικού ανώτατου ορίου» σε εργαλείο σχεδιασμού εργασίας, θα κρατήσει τον κίνδυνο υπό έλεγχο και θα στοχεύει όχι σε μια καλή τύχη, αλλά σε ένα σταθερό, αναπαραγώγιμο αποτέλεσμα.