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Cómo calcular el límite matemático de beneficios
¿Por qué considerar el «límite matemático de los beneficios»?
El «límite matemático del beneficio» es teóricamente el rendimiento medio máximo al que se puede aspirar a larga distancia con las limitaciones dadas: bankroll inicial, perfil de riesgo, varianza del juego, límites de apuestas, tiempo y número de sesiones. No se trata de una previsión de «cuánto se gana mañana», sino de un límite superior que no se puede superar de forma sostenida sin aumentar el riesgo de ruina.
En esencia, el límite lo establecen tres capas de matemáticas:1. Rendimiento esperado (aplastamiento, EV).
2. Riesgo y dispersión (varianza/volatilidad, riesgo de ruina).
3. Limitaciones (banco, límites, horizonte temporal, tope de apuestas/retiros, barreras psicológicas y operativas).
1) Magnitud básica - expectativa matemática (EV)
Para una apuesta/ronda:[
EV = \sum_i p_i \cdot x_i
]donde (p_i) es la probabilidad del resultado, (x_i) es la ganancia/pérdida en términos monetarios.
Si (EV <0) (como en la mayoría de los juegos de casino debido a la ventaja del establecimiento), el límite teórico de los beneficios a distancia es negativo: cuanto mayor es el volumen de juego, más cercano es el total real a la desventaja.
Si (EV> 0) (menos común: bonificación-arbitraje, distorsión de coeficientes, error de precios), hay un límite positivo - pero será «cortado» por el riesgo y las restricciones.
Ganancias medias por N rondas:[
\mathbb{E}[\Pi_N] = N \cdot EV
]Sin embargo, el simple "multiplicar por n' ignora la volatilidad y la probabilidad de abandonar el juego antes de llegar a N.
2) Dispersión, volatilidad y riesgo de ruina
La varianza determina cuán ampliamente oscilarán los resultados alrededor de la EV. Para el mismo (EV), una estrategia más volátil requiere un apalancamiento menor (fracción del banco) y da una tasa de crecimiento más baja y segura.
Una métrica práctica clave es el riesgo de ruina (Risk of Ruin, RoR): la probabilidad de que el banco caiga a un nivel crítico (por ejemplo, a cero o un «stop-level» dado) antes de que su ventaja larga se concrete.
Intuitivo: cuanto más alta es la varianza y más agresivo es el tamaño de la apuesta, mayor es el RoR - y menor es el límite de ganancia constante porque es más probable que «te caigas del juego».
3) Límite de beneficio a través del prisma de crecimiento del capital (criterio de registro)
Si el objetivo es la tasa máxima de crecimiento de capital a largo plazo, se utiliza la utilidad logarítmica y el criterio de Kelly. Para una tasa «pequeña» con ventaja (e) (rendimiento esperado en porcentaje por dólar) y volatilidad (\sigma), con pruebas independientes, la tasa marginal de crecimiento se aproxima a:[
g \approx \mathbb{E}[\ln(1+R)] \approx e - \frac{\sigma^2}{2}
]donde (R) es la rentabilidad por ronda. El máximo se alcanza con la proporción óptima de la apuesta (f ^) (semi-Kelly/Kelly - dependiendo de la forma de distribución y su riesgo).
Criterio de Kelly (intuitivo)
Para la ventaja de Bernoullian (por ejemplo, «apuesta con probabilidad de ganar (p) y coeficiente (b) a 1 «):[
f^=\frac{bp-(1-p)}{b}
]Sentido del juego: ponemos una parte del banco proporcional a la ventaja y inversamente proporcional al precio del error.
El límite de beneficio en el sentido de registro es el máximo de la tasa de crecimiento sostenible alcanzada con (f ^). Cualquier tasa más alta (f ^) aumenta el riesgo de «reducción profunda» y reduce el crecimiento a largo plazo (overbetting «come» ventaja).
En la práctica, a menudo se utiliza Semi-Kelly (0,5 × (f ^)) para reducir la volatilidad y el riesgo de ruina casi sin perder la tasa de crecimiento en horizontes reales y finitos.
4) Horizonte temporal y «tope» de restricciones de infraestructura
Incluso con (EV> 0) y literato (f ^), tu «techo matemático» se recorta:- Límites de apuesta y volumen de negocios (tasa máxima, frecuencia, límites de depósito/retiro).
- Recurso de tiempo (cuántas rondas/eventos juega realmente por período).
- Reducción de la ventaja con el tiempo (el mercado se adapta, las promociones/bonificaciones cambian).
- Limitaciones psicológicas (cansancio, decisiones erróneas en las reducciones).
En pocas palabras: límite real = «límite de registro perfecto» × «coeficiente de alcanzabilidad», que a menudo es inferior a 1 debido a lo enumerado.
5) Metodología de trabajo para la evaluación del «límite matemático»
Supongamos que está analizando una estrategia/juego y desea obtener una referencia de límite superior.
Paso 1. Evaluar el EV y la varianza de una sola ronda
Construya una tabla de resultados: probabilidades, pagos, costos.
Contar (EV).
Evalúe la varianza (\mathrm {Var} (R)) y la desviación estándar (\sigma) del rendimiento por ronda.
Paso 2. Seleccione la métrica de límite de destino
La tasa de crecimiento del capital (criterio de registro) es para la distancia infinita/larga y el objetivo principal es «crecer lo más rápido posible».
Beneficio esperado con RoR limitado: si es más importante mantener el riesgo de ruina por debajo de un umbral determinado (por ejemplo, <1%).
Paso 3. Encontrar la proporción óptima de la apuesta (f)
Use la fórmula de Kelly (o sus aproximaciones).
Para distribuciones complejas (ranuras, apuestas multipropósito): búsqueda numérica (f) que maximiza (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).
En un juego práctico, aplique semi-Kelly o parte de Kelly (⅓ - ½) como un compromiso entre crecimiento y reducción.
Paso 4. Previsión de una tasa de crecimiento sostenible
En «pequeño» (f): (g\approx f\cdot e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}).
Máximo (g) en (f = f ^). Ese es el límite matemático para un crecimiento sostenido sin un riesgo inflado.
Paso 5. Tenga en cuenta las limitaciones y la «tapa» del volumen
Determine el volumen de rondas disponible para el período (tiempo × velocidad de juego × límites).
Tenga en cuenta la tapa de ganancias de los límites de apuestas/pagos.
Realice una degradación de la ventaja (cambios previstos en las reglas/acciones/grupos).
Resultado: límite anual = (g_{\text{ustoychivyy}}) × número efectivo de ciclos de crecimiento × coeficiente de alcanzabilidad (0. 5–0. 9 dependiendo de las realidades).
6) Límite de beneficio en EV negativo
Si (EV <0), ninguna progresión de las apuestas creará un límite positivo. El criterio de registro dará una tasa de crecimiento negativa, y la proporción óptima (f ^) tiende a cero (es decir, no jugar).
La única matemática que aumenta el «límite» en el juego de los contras es la reducción del volumen de negocios (juegan menos → pierden menos) o la búsqueda de un sub-EV positivo dentro del ecosistema (bonos, cashback, rakeback, estados VIP) que conviertan el general (EV) en no negativo.
7) Mini calculadora práctica (versión en papel)
1. Califica (EV) por 100 unidades de apuesta: por ejemplo, (+ 1. 5%) → (e=0. 015).
2. Evalúe (\sigma) por ronda (por login de sesión o desde la tabla de resultados). Que (\sigma = 0. 2) (20%).
3. Aproximación de la proporción óptima (f ^\approx\frac {e} {\sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5%) es grosero, pero da orden. Realmente tome ⅓ - ½ de esto (12-20%).
4. Estime la tasa de crecimiento anual: (g\approx f e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}). En (f = 0. 2):[
g \approx 0. 2\cdot0. 015 - \frac{(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 - \frac{0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22% )\text {por ronda}
]Multiplique por el número de rondas «independientes» en un año (considerando límites y realismo) para obtener una referencia. Si rondas de 5.000, el crecimiento de registro esperado ~ (1 - e ^ {-0. 022}\approx 2. 2%) (un registro de una interpretación de porcentaje compleja; la dinámica monetaria real será más amplia debido a la varianza).
Importante: es una simplificación. En las ranuras de distribución, las colas pesadas hacen que el real (f ^) sea más bajo y requieren simulaciones.
8) Errores comunes en la evaluación del límite
Ignorar la varianza: contar sólo EV y escalar linealmente.
Overbetting: poner más Kelly → un crecimiento explosivo de las rebajas, una caída en los rendimientos a largo plazo.
Revalorización de la independencia de los resultados: los eventos correlacionados reducen el número efectivo de intentos.
Ignorar los límites: límites de apuestas/pagos, tiempo, cap promo - todo esto corta el techo «perfecto».
El desplazamiento del superviviente: contar con «como en la mejor serie» y no con un guión medio.
9) Formulación final del «límite matemático de beneficios»
El límite matemático del beneficio para una estrategia de larga distancia es el máximo de una tasa sostenida de crecimiento del capital con un riesgo permisible de ruina y limitaciones dadas. Se define por:1. por signo y magnitud (EV);
2. dispersión/volatilidad de los resultados;
3. La proporción óptima de la tasa (Kelly/Kelly);
4. los límites reales del volumen de juego y la infraestructura.
Si (EV\le 0) - el límite «por encima de cero» no existe. Si (EV> 0), el crecimiento marginal sostenido se alcanza con una proporción conservadora de Kelly, teniendo en cuenta las limitaciones y correlaciones.
10) Lista de verificación para la práctica
Confirme que su EV total ≥ 0 (incluyendo bonos/cashback/rakeback/promociones).
Evaluar (\sigma) y las colas de distribución (colas pesadas → reducir la proporción).
Calcule (f ^) y aplique la fracción de Kelly (⅓ - ½) al inicio.
Controle rígidamente el RoR y la reducción máxima (DD).
Actualice el modelo cuando cambie las reglas/límites/mercado.
Fije las sesiones, actualice las puntuaciones (EV), (\sigma), (f) y el «factor de alcanzabilidad».
Esta disciplina permitirá convertir la idea abstracta del «techo matemático» en una herramienta de planificación de trabajo, mantener el riesgo bajo control y apuntar no a la suerte única, sino a un resultado sostenible y reproducible.