Por qué ni siquiera la mejor estrategia vence a la varianza

En los juegos de azar, el resultado de la sesión es la suma de los resultados aleatorios independientes. Cada resultado tiene una expectativa matemática (retorno esperado) y una varianza (dispersión). La estrategia es capaz de redistribuir el riesgo en el tiempo (curva de bankroll, frecuencia de «valles» y «picos»), pero no es capaz de deshacer la varianza y, si la expectativa es negativa, es incapaz de convertir el negativo en un plus.

1) Qué es la varianza y por qué «gana»

Considere la variable aleatoria (X) - multiplicador por giro/apuesta (cuántas veces la apuesta ha regresado).

Espera: (\mu =\mathbb {E} [X]) (RTP = (\mu\times100%)).

Varianza: (\sigma ^ 2 =\mathrm {Var} (X)): mide la dispersión de resultados.

Para (N) intentos independientes, el promedio (\bar {X}) oscila (\mu) con un error estándar

[
SE=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}.
]

Incluso con una gran (N), la dispersión no desaparece instantáneamente: sólo cae como (1/\sqrt {N}). A corta distancia, la varianza domina la «lógica» de cualquier estrategia.

2) Qué puede y no puede una estrategia

Puede:

Cambiar el perfil de riesgo: longitud de las series de pérdidas, profundidad de las reducciones, probabilidad de «retrocesos» raros;
gestionar el tiempo (stop-loss/take profits), reduciendo la exposición;
recoger la volatilidad del juego bajo el objetivo de la sesión (las pequeñas cosas frecuentes vs raras son grandes).

No puede:

cambiar (\mu) en el juego limpio sin distorsiones (RTP, «house-edge»);
eliminar la dispersión (\sigma ^ 2);
hacer dependientes los eventos independientes (ningún «timing» dará a luz la memoria en el RNG).

3) Por qué no se vence la espera negativa

Si hay «house-edge», entonces (\mu <1) (RTP <100%). A continuación, la cantidad esperada por (N) apuestas en la (b):

[
\ mathbb {E} [\text {ganancia}] = N\cdot b\cdot (\mu-1) <0.
]

Las estrategias de progresión (martingale, d' Alembert, Fibonacci) sólo cambian la distribución: hacen más «pequeñas victorias» cortas a costa de fallas raras pero catastróficas sin cambiar (\mu).

4) «¡He visto cómo funciona la estrategia!» - sobre la muestra y la suerte

A corta distancia, el ruido es grande:

la ley de los números grandes sólo habla de convergencia en promedio cuando es enorme (N);
el teorema del límite central da una campana alrededor (\mu), pero el ancho (\propto\sigma/\sqrt {N});
una rara gran ganancia «repintará» fácilmente 500-1000 giros, creando la ilusión de un «patrón de trabajo».

5) Riesgo de ruina y bankroll

Incluso con una expectativa neutra/positiva (por ejemplo, bonificación por ganancia, ventajas en las apuestas), la varianza crea un riesgo de ruina: la probabilidad de que la reducción llegue a cero antes de que se concrete la ventaja.

Cuanto mayor sea la volatilidad y la participación del banco en la tasa, mayor será el riesgo de ruina.

Stop loss limita la profundidad de la reducción, pero no hace que la espera sea positiva. Sólo registra el riesgo.

6) Tamaño de la apuesta y Kelly

La fórmula de Kelly (para juegos con ventaja) maximiza la tasa de crecimiento del capital al elegir una participación (f ^) del banco. Pero:

si la espera es negativa, (f ^ <0) ⇒ el tamaño correcto de la apuesta es cero (no jugar);
con una expectativa positiva, Kelly reduce el riesgo de ruina, pero no elimina la dispersión: las series y drawdown's se mantendrán.

7) Análisis de estrategias populares

Martingale: alta probabilidad de un pequeño plus, pero explosivo riesgo de «muro límite/banco». La distribución se vuelve «de cola gruesa» - enormes contras raras.

Apuesta Flat: más limpio se ve lo real (\mu), la varianza se manifiesta «honestamente».

Escaleras/dogon de la serie: confían en el error del jugador y en la «ilusión de los racimos». Las probabilidades de resultados no cambian.

Stop-loss/take-profits: herramienta de control de comportamiento y tiempo de exposición. La expectativa es la misma.

8) Por qué el «control perfecto» no convierte el negativo en más

Cualquier control es un filtro por tiempo (cuándo entrar/salir) y por tamaño de posición. Si (\mu <1), la integral de sus expectativas en el tiempo sigue siendo negativa. Puede:

obtener una curva más «lisa»;
es menos común encontrarse con los «cisnes negros» (a costa de reducir la posibilidad de los raros «cambacks»);
es mejor sobrevivir a la dispersión psicológicamente.
Pero las matemáticas de ganar siguen siendo las mismas.

9) Conclusiones prácticas para el jugador

1. Identifique la expectativa. Si RTP es <100% y no hay ninguna ventaja externa, no hay una estrategia que cambie el signo de espera.

2. Elija la volatilidad bajo el objetivo. Quiere «movimientos» - por encima de la HF y por debajo de la varianza; ¿Quieres una oportunidad de «derrapar» - prepárate para los «desiertos».

3. Poner el tamaño del banco, no de las emociones. Mayor proporción de la tasa = aumento exponencial del riesgo de ruina.

4. Planifique reducciones. Mantenga la reserva del banco bajo las series típicas: centre en la mediana y el 75 percentil de intervalos entre eventos significativos.

5. Fija las reglas antes del juego. Stop loss en dinero y giros, tiempo de espera después de una larga serie L.

6. Mírame, no «sienta». Considere el RTP, HF, cuantiles de intervalos reales; evite los «timings» y las supersticiones.

10) Mini plantilla de «pasaporte de riesgo» para sus revisiones

RTP (pasaporte): ...%

HF (cualquier ganancia): ...%

Cuantiles de intervalos de ≥×10: mediana... giros; 75 percentil...

Dispersión RTP esperada en 1000 giros: ≈... p.p. (para esta volatilidad)

Reducciones típicas (empíricas): mediana... apuestas; 95 percentil...

Recomendaciones de tasa: ...% del banco (si el objetivo es mantener el riesgo de ruina ≤...%)

En pocas palabras: la varianza es una propiedad fundamental de la aleatoriedad, no un «gluck» que puede ser engañado por una progresión astuta. Las estrategias son útiles para controlar el riesgo y el comportamiento, elegir el ritmo y la duración de la sesión, pero no para cambiar la lapidación ni para «derrotar la varianza». Si la expectativa es negativa es la única manera de «derrotar la varianza» a largo plazo es acortar la exposición o no jugar.