چگونه برای محاسبه حد سود ریاضی

چرا «حاشیه سود ریاضی» را در نظر بگیرید

«حاشیه سود ریاضی» به لحاظ نظری حداکثر میانگین بازگشتی است که می توانید برای یک فاصله طولانی تحت محدودیت های معین هدف قرار دهید: سرمایه اولیه، مشخصات ریسک، واریانس بازی، محدودیت شرط بندی، زمان و تعداد جلسات. این پیش بینی «چقدر فردا برنده می شوید» نیست، بلکه یک حد بالایی است که نمی تواند به طور پیوسته بدون افزایش خطر خراب شدن فراتر رود.

در حقیقت، این حد توسط سه لایه ریاضیات تعیین می شود:

1. بازده مورد انتظار (مورد انتظار، EV).

2. خطر و گسترش (واریانس/نوسانات، خطر خراب شدن).

3. محدودیتها (بانک، محدودیتها، افق زمانی، سقف نرخ/برداشت، موانع روانی و عملیاتی).

1) مقدار پایه - انتظار (EV)

برای یک شرط/دور:

[
EV =\sum _ i p_i\cdot x_i
]

جایی که (p_i) - احتمال نتیجه، (x_i) - سود/زیان در شرایط پولی.

اگر (EV <0) (همانطور که در اکثر بازی های کازینو به دلیل مزیت استقرار)، حد سود نظری در فاصله منفی است: بزرگتر حجم بازی، نزدیک تر نتیجه واقعی به منفی است.

اگر (EV> 0) (کمتر معمول: داوری جایزه, اریب ضرایب, خطای قیمت گذاری), یک حد مثبت وجود دارد - اما از آن خواهد شد «قطع» با خطر و محدودیت.

متوسط درآمد در هر N دور:

[
\ mathbb {E} [\Pi _ N] = N\cdot EV
]

با این حال، به سادگی «ضرب در N» نوسانات و احتمال خروج از بازی قبل از رسیدن به N را نادیده می گیرد.

2) واریانس، نوسانات و خطر خراب شدن

واریانس تعیین می کند که چقدر نتایج در اطراف EV تغییر خواهد کرد. برای همان (EV)، یک استراتژی بی ثبات تر نیاز به اهرم کوچکتر (سهم بانکی) دارد و نرخ رشد کمتری را به وجود می آورد.

خطر ورشکستگی (RoR): این احتمال وجود دارد که یک بانک قبل از اینکه مزیت طولانی مدت شما تحقق یابد، به یک سطح بحرانی (به عنوان مثال، به صفر یا یک «سطح توقف» مشخص) برسد.

به طور شهودی: هرچه واریانس بالاتر باشد و اندازه شرط تهاجمی تر باشد، RoR بالاتر است - و حاشیه سود پایدار پایین تر است زیرا احتمال بیشتری وجود دارد که «سقوط کنید».

3) محدودیت سود از طریق منشور رشد سرمایه (ورود به سیستم معیار)

اگر هدف حداکثر نرخ بلند مدت رشد سرمایه باشد، ابزار لگاریتمی و آزمون کلی استفاده می شود. برای یک نرخ «کوچک» با مزیت (e) (بازده مورد انتظار در درصد در هر دلار) و نوسانات (سیگما)، در آزمون های مستقل، نرخ رشد حاشیه ای تقریبی است:

[
g\approximate\mathbb {E} [\ln (1 + R) ]\approximate e -\frac {\sigma ^ 2} {2}
]

که در آن (R) بازده در هر دور است. حداکثر در سهم نرخ بهینه (f ^) (نیمه کلی/کلی - بسته به نوع توزیع و خطر شما) رسیده است.

معیار کلی (بصری)

برای مزیت برنولی (به عنوان مثال «شرط بندی با احتمال برنده شدن (p) و ضریب (b) به 1 «):

[
f ^ =\frac {bp- (1-p)} {b}
]

معنی بازی: ما سهم بانک را متناسب با مزیت و معکوس متناسب با قیمت خطا قرار می دهیم.

حاشیه سود به معنای ورود به سیستم حداکثر نرخ رشد پایدار به دست آمده در (f ^) است. هر نرخ بالا (f ^) خطر «کاهش عمیق» را افزایش می دهد و رشد بلند مدت را کاهش می دهد (بیش از حد «خوردن» مزیت).

در عمل، نیمه کلی (0. 5 × (f ^) اغلب برای کاهش نوسانات و خطر نابودی با تقریبا بدون از دست دادن نرخ رشد در افق های واقعی و نهایی استفاده می شود.

4) افق زمانی و «کلاه» محدودیت های زیربنایی

حتی با (EV> 0) و صالح (f ^)، «سقف ریاضی» شما قطع می شود:

محدودیت نرخ و گردش مالی (حداکثر نرخ، فرکانس، محدودیت سپرده/برداشت).
منابع زمان (چند دور/رویدادهایی که واقعا در طول دوره بازی می کنید).
کاهش مزیت در طول زمان (سازگاری بازار، تغییر سهام/پاداش).
محدودیت های روانی (خستگی، تصمیم گیری های اشتباه در کاهش).

خط پایین: حد واقعی = «حد ورود به سیستم ایده آل» × «ضریب دسترسی»، که اغلب زیر 1 به دلیل بالا.

5) روش کار برای برآورد «حد ریاضی»

فرض کنید شما یک استراتژی/بازی را تجزیه و تحلیل می کنید و می خواهید نقطه عطفی از حد بالا را بدست آورید.

مرحله 1. نرخ EV و واریانس یک دور

جدولی از نتایج ایجاد کنید: احتمالات، پرداختها، هزینهها.

محاسبه (EV)

برآورد واریانس (\mathrm {Var} (R)) و انحراف استاندارد (\sigma) بازده در هر دور.

برو 2. برگزیدن معیار حد هدف

نرخ رشد سرمایه (log-criterion) - برای فاصله نامحدود/طولانی و هدف اصلی «رشد هرچه سریعتر».

سود مورد انتظار در RoR محدود - اگر مهم تر است که خطر خراب شدن را زیر یک آستانه معین نگه دارید (به عنوان مثال، <1٪).

برو 3. یافتن سهم نرخ بهینه (f)

از فرمول کلی (یا تقریب آن) استفاده کنید.

برای توزیعهای پیچیده (اسلات، نرخ چند منبع)، یک جستجوی عددی (f) که بیشینه میکند (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).

در یک بازی عملی، از نیمی از Kelly یا بخشی از Kelly (⅓ - ½) به عنوان سازش بین رشد و کاهش استفاده کنید.

برو 4. پیش بینی رشد پایدار

با «کوچک» (f): (g\approximate f\cdot e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}).

حداکثر (g) در (f = f ^). این حد ریاضی رشد پایدار بدون ریسک بیش از حد است.

برو 5. محدودیت ها و «کلاه» حجم را در نظر بگیرید

تعیین مقدار در دسترس از دور در هر دوره (زمان × سرعت بازی × محدودیت).

کلاه سود را از محدودیت های نرخ/پرداخت در نظر بگیرید.

مزایای تخریب (تغییرات قانون/سهام/استخر مورد انتظار) را ایجاد کنید.

یافته ها: محدودیت سالانه = (g_{\text{ustoychivyy}}) × تعداد مؤثر چرخه های رشد × نسبت دسترسی (0). 5–0. 9 بسته به واقعیت ها).

6) کلاه درآمد در EV منفی

اگر (EV <0)، هیچ پیشرفت نرخ یک کلاه مثبت ایجاد نخواهد کرد. معیار log نرخ رشد منفی را به دست می دهد و کسر بهینه (f ^) به صفر می رسد (یعنی بازی نمی کند).

تنها ریاضی که «حد» را در یک بازی منفی افزایش می دهد، کاهش گردش مالی است (شما کمتر بازی می کنید → از دست دادن کمتر) یا جستجو برای یک زیر EV مثبت در اکوسیستم (پاداش، بازپرداخت، بازپرداخت، وضعیت VIP)، که به طور کلی (EV) را به غیر منفی تبدیل می کند.

7) مینی ماشین حساب عملی (نسخه کاغذی)

1. نرخ (EV) در هر 100 واحد شرط بندی: به عنوان مثال، (+ 1. 5%) → (e = 0. 015).

2. نرخ (\sigma) در هر دور (با ورود به جلسه و یا از جدول نتیجه). اجازه دهید (\sigma = 0. 2) (20%).

3. تقریب کسر بهینه (f ^\approximate\frac {e} {sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5٪) - خشن، اما نظم می دهد. واقعا ⅓ - ½ از این (12-20٪).

4. نرخ رشد سالانه خود را ارزیابی کنید: (g\approach f e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}). در (f = 0. 2):

[
g\تقریبا 0. 2\cdot0. 015 -\frac {(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 -\frac {0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22٪ )\متن {در هر دور}
]

ضرب در تعداد دورهای «مستقل» در سال (با در نظر گرفتن محدودیت ها و واقع گرایی) برای به دست آوردن یک معیار. اگر 5000 دور وجود داشته باشد، ~ رشد مورد انتظار (1 - e ^ {-0. 022 }\تقریبا 2. 2٪) (تفسیر درصد پیچیده log-c ؛ پویایی پولی واقعی به دلیل واریانس گسترده تر خواهد بود).

مهم: این ساده سازی است. در اسلات، توزیع دم های سنگین واقعی (f ^) پایین تر است و نیاز به شبیه سازی دارد.

8) خطاهای رایج در برآورد حد

نادیده گرفتن واریانس: فقط EV و مقیاس خطی را بخوانید.

Overbetting: قرار دادن کلی بیشتر → رشد انفجاری کاهش، کاهش سودآوری بلند مدت.

ارزیابی مجدد استقلال نتیجه: رویدادهای مرتبط تعداد تلاشهای مؤثر را کاهش میدهند.

نادیده گرفتن محدودیت ها: محدودیت های نرخ/پرداخت، زمان، تبلیغات کلاه - همه اینها سقف «ایده آل» را قطع می کند.

Survivor bias: روی «دوست داشتن در بهترین قسمت» حساب کنید، نه سناریوی متوسط.

9) جمله بندی نهایی «حد ریاضی سود»

حاشیه سود ریاضی برای یک استراتژی بلند مدت حداکثر نرخ پایدار رشد سرمایه در معرض خطر قابل قبول خراب شدن و محدودیت های داده شده است. تعریف شده توسط:

1. علامت و ارزش (EV)

2. واریانس/نوسانات نتایج ؛

3. سهم نرخ بهینه (سهم کلی/کلی) ؛

4. محدودیت های واقعی برای حجم بازی و زیرساخت.

اگر (EV\le 0) - هیچ محدودیتی بالاتر از صفر وجود ندارد. اگر (EV> 0)، رشد حاشیه ای پایدار با یک بخش محافظه کارانه از کلی، با توجه به محدودیت ها و همبستگی ها، به دست می آید.

10) چک لیست برای تمرین

تأیید کنید که کل EV شما 0 ≥ (شامل پاداش/بازپرداخت/بازپرداخت/تبلیغات).

ارزیابی (\sigma) و توزیع دم (دم سنگین → کاهش نسبت).

محاسبه (f ^) و اعمال کسر کلی (⅓ - ½) در آغاز.

کنترل دقیق RoR و حداکثر تخلیه (DD).

به روز رسانی مدل زمانی که قوانین/محدودیت/تغییر بازار.

جلسات ضبط، نمرات به روز رسانی (EV)، (\sigma)، (f) و «نسبت دسترسی».

این نظم و انضباط این امکان را به نوبه خود ایده انتزاعی از یک «سقف ریاضی» را به یک ابزار برنامه ریزی کار، نگه داشتن خطر تحت کنترل و هدف در یک بار موفق نیست، اما در یک پایدار، نتیجه تجدید پذیر.