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Comment calculer la limite mathématique de profit
Pourquoi compter la « limite mathématique du profit » ?
La « limite de profit mathématique » est théoriquement le rendement moyen maximum auquel vous pouvez aspirer sur une longue distance avec des limites données : bankroll initial, profil de risque, variance du jeu, limites de mise, temps et nombre de sessions. Ce n'est pas une prévision « combien gagnerez-vous demain », mais une limite supérieure qui ne peut être dépassée durablement sans augmenter le risque de ruine.
En fait, la limite est fixée par trois couches de mathématiques :1. Rendement attendu (matelas, VE).
2. Risque et dispersion (variance/volatilité, risque de ruine).
3. Restrictions (banque, limites, horizon temporel, cap taux/retrait, barrières psychologiques et opérationnelles).
1) Valeur de base - attente mathématique (EV)
Pour un pari/tour :[
EV = \sum_i p_i \cdot x_i
]où (p_i) est la probabilité de résultat, (x_i) est le résultat en termes monétaires.
Si (EV <0) (comme dans la plupart des jeux de casino en raison des avantages de l'établissement), la limite théorique de profit à distance est négative : plus le volume du jeu est grand, plus le total réel est proche du négatif.
Si (EV> 0) (moins souvent : bonus-arbitrage, distorsion des coefficients, erreur de tarification), il y a une limite positive - mais elle sera « coupée » par le risque et les restrictions.
Profit moyen pour N rounds :[
\mathbb{E}[\Pi_N] = N \cdot EV
]Cependant, un simple "multiplier par N'ignore la volatilité et la probabilité d'être éliminé du jeu avant d'atteindre N.
2) Dispersion, volatilité et risque de ruine
La variance détermine à quel point les résultats vont fluctuer autour de l'EV. Pour la même chose (VE), une stratégie plus volatile nécessite moins d'épaule (part de la banque) et donne un taux de croissance moins sûr.
La principale métrique pratique est le risque de ruine (Risk of Ruin, RoR) : la probabilité que la banque tombe à un niveau critique (par exemple, à zéro ou à un « niveau d'arrêt » donné) avant que votre long avantage ne soit réalisé.
Intuitivement : plus la variance est élevée et plus la taille du pari est agressive, plus la RoR est élevée - et plus la limite de profit stable est faible, parce que vous êtes plus souvent « hors jeu ».
3) La limite du profit à travers le prisme de la croissance du capital (log critère)
Si l'objectif est le taux de croissance maximal à long terme du capital, l'utilité logarithmique et le critère de Kelly sont utilisés. Pour un « petit » taux avec un avantage (e) (rendement attendu en pourcentage par dollar) et une volatilité (\sigma), avec des essais indépendants, le taux de croissance marginal est approximatif :[
g \approx \mathbb{E}[\ln(1+R)] \approx e - \frac{\sigma^2}{2}
]où (R) est le rendement par tour. Le maximum est atteint avec la part optimale du taux (f ^) (demi-Kelly/Kelly - selon la forme de la distribution et votre risque).
Critère de Kelly (intuitif)
Pour l'avantage bernulien (par exemple, « parier avec une probabilité de gain (p) et un coefficient (b) à 1 « ) :[
f^=\frac{bp-(1-p)}{b}
]Le sens du jeu : nous mettons une part de la banque proportionnelle à l'avantage et inversement proportionnelle au prix de l'erreur.
La limite de profit dans le sens log est le maximum de croissance durable atteint à (f ^). Tout taux plus élevé (f ^) augmente le risque de « suintement profond » et réduit la croissance à long terme (overbetting « mange » avantage).
Dans la pratique, on utilise souvent le demi-Kelly (0,5 × (f ^)) pour réduire la volatilité et le risque de ruine presque sans perdre le taux de croissance sur les horizons réels et finaux.
4) Horizon temporel et « cap » des contraintes d'infrastructure
Même avec (EV> 0) et alphabétisé (f ^), votre « plafond mathématique » est réduit :- Limites de taux et de chiffre d'affaires (taux maximum, fréquence, limites de dépôt/retrait).
- Ressource temporelle (combien de tours/événements vous jouez vraiment par période).
- Réduction de l'avantage au fil du temps (le marché s'adapte, les actions/bonus changent).
- Contraintes psychologiques (fatigue, décisions erronées dans les échecs).
Résultat : limite réelle = « log-limite parfaite » × « facteur d'atteignabilité », qui est souvent inférieur à 1 en raison de la liste.
5) Méthode de travail pour estimer la « limite mathématique »
Supposons que vous analysiez la stratégie/le jeu et que vous vouliez obtenir le point de référence de la limite supérieure.
Étape 1. Évaluer le VE et la variance d'un tour
Construisez un tableau des résultats : probabilités, paiements, coûts.
Compter (EV).
Estimer la variance (\mathrm {Var} (R)) et l'écart type (\sigma) du rendement par tour.
Étape 2. Sélectionnez la métrique de limite cible
Le taux de croissance du capital (critère du journal) est pour la distance infinie/longue et l'objectif principal de « croître le plus rapidement possible ».
Profit attendu avec une RoR limitée - s'il est plus important de maintenir le risque de ruine en dessous d'un seuil prédéterminé (p. ex. <1 %).
Étape 3. Trouvez la part optimale du pari (f)
Utilisez la formule de Kelly (ou son approximation).
Pour les distributions complexes (slots, paris multi-taux), une recherche numérique (f) qui maximise (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R))).
Dans le jeu pratique, appliquez la demi-Kelly ou une partie de Kelly (⅓ - ½) comme compromis entre la croissance et les échecs.
Étape 4. Prévisions de croissance soutenue
Pour « petit » (f) : (g\approx f\cdot e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}).
Maximum (g) à (f = f ^). C'est la limite mathématique d'une croissance soutenue sans risque excessif.
Étape 5. Tenez compte des limites et du volume « cap »
Définissez le volume disponible des tours par période (temps × vitesse de jeu × limites).
Tenez compte des gains du cap des limites de taux/de paiement.
Introduire une dégradation de l'avantage (changements attendus des règles/actions/pool).
Résultat : limite annuelle = (g_{\text{ustoychivyy}}) × nombre effectif de cycles de croissance × taux de réalisation (0. 5–0. 9 en fonction des réalités).
6) Limite de profit en VE négative
Si (VE <0), aucune progression des taux ne créerait une limite positive. Le critère du journal donnera un taux de croissance négatif, et la part optimale (f ^) tend vers zéro (c'est-à-dire ne pas jouer).
La seule mathématique qui augmente la « limite » dans le jeu de moins est la baisse du chiffre d'affaires (vous jouez moins → vous perdez moins) ou la recherche d'un sous-EV positif à l'intérieur de l'écosystème (bonus, keshback, rakback, statuts VIP), qui transforme le total (EV) en un non négatif.
7) Mini calculatrice pratique (version papier)
1. Estimer (VE) par 100 unités de mise : par exemple, (+ 1. 5%) → (e=0. 015).
2. Évaluez (\sigma) par round (par logue de session ou à partir de la table des résultats). Laissez (\sigma = 0. 2) (20%).
3. Approximation de la fraction optimale (f ^\approx\frac {e} {\sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5 %) est grossière, mais donne de l'ordre. Prenez vraiment le ⅓ - ½ de cela (12-20 %).
4. Estimez le taux de croissance annuel : (g\approx f e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}). À (f = 0. 2):[
g \approx 0. 2\cdot0. 015 - \frac{(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 - \frac{0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22 % )\text {par round}
]Multipliez par le nombre de tours « indépendants » par an (compte tenu des limites et du réalisme) pour obtenir un point de référence. Si les rounds sont de 5 000, la croissance de log attendue est ~ (1 - e ^ {-0. 022}\approx 2. 2 %) (logue à l'interprétation complexe du pourcentage ; la dynamique monétaire réelle sera plus large en raison de la dispersion).
Important : c'est une simplification. Dans les slots de distribution des queues lourdes, le réel (f ^) est plus bas et nécessite des simulations.
8) Erreurs courantes dans l'estimation de la limite
Ignorer la variance : compter uniquement EV et mettre à l'échelle linéairement.
Surréservation : mettre plus de Kelly → une augmentation explosive des déboires, une baisse des rendements à long terme.
Réévaluation de l'indépendance des résultats : les événements corrélés réduisent le nombre effectif de tentatives.
Ignorer les restrictions : les limites de taux/de paiement, le temps, le cap promo - tout cela coupe le plafond « parfait ».
Déplacement du survivant : comptez sur « comme dans la meilleure série » et non sur le scénario moyen.
9) Formulation finale « limite mathématique de profit »
La limite mathématique du profit pour une stratégie à longue distance est le maximum d'un taux de croissance durable du capital avec un risque de ruine tolérable et des restrictions spécifiées. Il est défini par :1. le signe et la grandeur (EV) ;
2. la variance/volatilité des résultats ;
3. la part optimale du taux (Kelly/part Kelly) ;
4. les limites réelles du volume de jeu et de l'infrastructure.
Si (EV\le 0), il n'y a pas de limite supérieure à zéro. Si (EV> 0), la croissance durable limite est atteinte avec une part conservatrice de Kelly, compte tenu des contraintes et des corrélations.
10) Chèque-feuille pour la pratique
Confirmez que votre VE total est ≥ à 0 (y compris les bonus/cashback/rakback/promotions).
Évaluez (\sigma) et les queues de distribution (queues lourdes → réduire la proportion).
Calculez (f ^) et appliquez la proportion de Kelly (⅓ - ½) au départ.
Contrôlez fortement la RoR et la baisse maximale (DD).
Actualisez le modèle lorsque vous modifiez les règles/limites/marché.
Enregistrez les sessions, mettez à jour les notes (EV), (\sigma), (f) et le « taux d'atteinte ».
Cette discipline permettra de transformer l'idée abstraite du « plafond mathématique » en un outil de travail de planification, de maintenir le risque sous contrôle et de ne pas viser à la chance unique, mais à un résultat durable et reproductible.