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गणितीय लाभ सीमा की गणना कैसे करें
क्यों एक "गणितीय लाभ मार्जिन" पर विचार करें
"गणितीय लाभ मार्जिन" सैद्धांतिक रूप से अधिकतम औसत रिटर्न है जिसे आप दिए गए सीमा के तहत लंबी दूरी के लिए लक्षित कर सकते हैं: प्रारंभिक बैंकरोल, जोखिम प्रोफ़ाइल, गेम विचरण, सट्टेबाजी की सीमा, समय और सत्रों की संख़बर। यह एक "आप कल कितना जीतते हैं" पूर्वानुमान नहीं है, लेकिन एक ऊपरी सीमा जो बर्बादी के जोखिम को बढ़ाए बिना लगातार पार नहीं की जा सकती है।
वास्तव में, सीमा गणित की तीन परतों द्वारा निर्धारित की जाती है:1. अपेक्षित वापसी (अपेक्षित, ईवी)।
2. जोखिम और प्रसार (विचरण/अस्थिरता, बर्बादी का जोखिम)।
3. सीमाएं (बैंक, सीमा, समय क्षितिज, दर/निकासी टोपी, मनोवैज्ञानिक और परिचालन बाधाएं)।
1) आधार मात्रा - अपेक्षा (ईवी)
एक शर्त/दौर के लिए:[
EV = é sum _ i p_i cdot x_i
]जहां (p_i) - परिणाम की संभावना, (x_i) - मौद्रिक दृष्टि से लाभ/हानि।
यदि (ईवी <0) (स्थापना के लाभ के कारण अधिकांश कैसीनो खेलों में), दूरी पर सैद्धांतिक लाभ सीमा नकारात्मक है: खेल की मात्रा जितनी बड़ी है, वास्तविक परिणाम शून्य के करीब है।
यदि (ईवी> 0) (कम सामान्यतः: बोनस मध्यस्थता, गुणांक का तिरछा होना, मूल्य निर्धारण त्रुटि), तो एक सकारात्मक सीमा है - लेकिन यह जोखिम और बाधाओं से "कट" जाएगा।
प्रति एन राउंड औसत आय:[
~ mathbb {E} [é Pi _ N] = N é cdot EV
]हालांकि, बस "एन द्वारा गुणा करें" अस्थिरता और एन तक पहुंचने से पहले खेल से बाहर होने की संभावना को अनदेखा करता है।
2) विविधता, अस्थिरता और बर्बादी का जोखिम
विचरण निर्धारित करता है कि ईवी के आसपास परिणाम कितने व्यापक रूप से उतार-चढ़ाव वाले हों उसी (ईवी) के लिए, एक अधिक अस्थिर रणनीति के लिए एक छोटे उत्तोलन (बैंक शेयर) की आवश्यकता होती है और कम सुरक्षित विकास दर देती है।
प्रमुख व्यावहारिक मीट्रिक रिस्क ऑफ रुइन (आरओआर) है: संभावना है कि बैंक आपके लंबे लाभ का एहसास होने से पहले एक महत्वपूर्ण स्तर (उदाहरण के लिए, शून्य या दिए गए "स्टॉप लेवल") पर गिर जाएगा।
सहज रूप से: विचरण जितना अधिक होगा और शर्त का आकार उतना ही आक्रामक होगा, आरओआर उतना ही अधिक होगा - और स्थायी लाभ मार्जिन कम होगा क्योंकि आप "बाहर गिरने" की अधिक संभावना रखते हैं।
3) पूंजी वृद्धि के प्रिज्म के माध्यम से लाभ सीमा (लॉग-कसौटी)
यदि लक्ष्य पूंजी वृद्धि की अधिकतम दीर्घकालिक दर है, तो लघुगणक उपयोगिता और केली के परीक्षण का उपयोग किया जाता है। स्वतंत्र परीक्षणों में लाभ (ई) (प्रति डॉलर प्रतिशत में अपेक्षित उपज) और अस्थिरता (é सिग्मा) के साथ एक "छोटी" दर के लिए, सीमांत विकास दर अनुमानित है:[
g × actox × mathbb {E} [łln (1 + R)]· लगभग e - é frac {sigma ^ 2} {2}
]जहां (R) प्रति राउंड उपज है। अधिकतम इष्टतम दर शेयर (एफ ^) (आधा-केली/केली - वितरण के रूप और आपके जोखिम के आधार पर) पर पहुंच जाता है।
केली मानदंड (सहज ज्ञान युक्त)
बर्नौलियन लाभ के लिए (उदा। "जीतने की संभावना (पी) और गुणांक (बी) से 1 ") के साथ दांव:[
f ^ = é frac {bp- (1-p)} {b}
]खेल का अर्थ: हम बैंक के हिस्से को लाभ के आनुपातिक और त्रुटि की कीमत के विपरीत आनुपातिक रूप से डालते हैं।
लॉग अर्थ में लाभ मार्जिन (च ^) पर प्राप्त अधिकतम निरंतर विकास दर है। ऊपर की कोई भी दर (f ^) "डीप ड्रॉडाउन" के जोखिम को बढ़ाती है और दीर्घकालिक विकास को कम करती है (लाभ को "खाती है")।
व्यवहार में, आधा-केली (0। 5 × (f ^)) का उपयोग अक्सर अस्थिरता को कम करने के लिए किया जाता है और वास्तविक, अंतिम क्षितिज में विकास दर का लगभग कोई नुकसान नहीं होता है।
4) समय क्षितिज और बुनियादी ढांचे के प्रतिबंधों की "टोपी"
यहां तक कि (EV> 0) और सक्षम (f ^) के साथ, आपकी "गणितीय छत" कट जाती है:- दर और टर्नओवर सीमा (अधिकतम दर, आवृत्ति, जमा/निकासी सीमा)।
- समय संसाधन (आप वास्तव में अवधि के दौरान कितने राउंड/इवेंट खेलते हैं)।
- समय के साथ कम होता लाभ (बाजार अनुकूलन, स्टॉक/बोनस परिवर्तन)।
- मनोवैज्ञानिक सीमाएं (थकान, ड्रॉडाउन में गलत निर्णय)।
नीचे की रेखा: वास्तविक सीमा = "आदर्श लॉग लिमिट" × "पहुंच गुणांक", जो अक्सर उपरोक्त के कारण 1 से नीचे होता है।
5) "गणितीय सीमा" का अनुमान लगाने के लिए कार्य पद्धति
मान लीजिए कि आप एक रणनीति/खेल का विश्लेषण कर रहे हैं और ऊपरी सीमा का एक मील का पत्थर प्राप्त करना चाहते हैं।
चरण 1। दर ईवी और एक दौर का विचरण
परिणामों की एक तालिका का निर्माण: संभावनाएं, भुगतान, लागत।
गणना करें (EV)।- प्रति राउंड रिटर्न के विचरण (łmathrm {Var} (R) और मानक विचलन (łsigma) का अनुमान लगाएं।
चरण 2। लक्ष्य सीमा मीट्रिक चुनें
पूंजी वृद्धि दर (लॉग-मानदंड) - अनंत/लंबी दूरी के लिए और "जितनी तेजी से बढ़ रहा है" का मुख्य लक्ष्य।
सीमित आरओआर पर अपेक्षित लाभ - यदि किसी दिए गए सीमा से नीचे बर्बाद होने का जोखिम रखना अधिक महत्वपूर्ण है (उदाहरण के लिए, <1%)।
चरण 3। इष्टतम दर शेयर खोजें (f)
केली सूत्र (या इसके सन् निकटन) का उपयोग करें।- जटिल वितरण (स्लॉट, बहु-स्रोत दरों) के लिए, एक संख्यात्मक खोज (f) जो अधिकतम करती है (é mathbb {E} [ln (1 + f é cdot R)]।
- एक व्यावहारिक खेल में, विकास और ड्रॉडाउन के बीच समझौता के रूप में आधे केली या केली के हिस्से (⅓ - ½) का उपयोग करें।
चरण 4। सतत विकास का पूर्वानुमान
"छोटे" (f) के साथ: (g × autx f é cdot e - é frac {(f × sigma) ^ 2} {2})।
अधिकतम (g) पर (f = f ^)। यह अतिरंजित जोखिम के बिना स्थायी विकास की गणितीय सीमा है।
चरण 5। वॉल्यूम की सीमाओं और "टोपी" को ध्यान में रखें
प्रति अवधि (समय × खेल गति × सीमा) राउंड की उपलब्ध मात्रा निर्धारित करें।
दर/भुगतान सीमा से लाभ सीमा पर विचार करें।- गिरावट लाभ (अपेक्षित नियम/स्टॉक/पूल परिवर्तन) बनाएं।
परिणाम: वार्षिक सीमा = (g_{\text{ustoychivyy}}) विकास चक्र × पहुंच अनुपात की × प्रभावी संख्या (0)। 5–0. 9 वास्तविकताओं के आधार पर)।
6) नकारात्मक ईवी पर आय कैप
यदि (EV <0), कोई दर प्रगति धनात्मक टोपी नहीं बनाएगी। लॉग-मानदंड एक नकारात्मक वृद्धि दर देगा, और इष्टतम अंश (f ^) शून्य हो जाता है (अर्थात, खेलने के लिए नहीं)।
एकमात्र गणित जो माइनस गेम में "सीमा" बढ़ाता है, टर्नओवर में कमी है (आप कम खेलते हैं) या पारिस्थितिकी तंत्र (बोनस, कैशबैक, रैकबैक, वीआईपी स्टेटस) के भीतर एक सकारात्मक उप-ईवी की खोज। गैर-नकारात्मक।
7) व्यावहारिक मिनी-कैलकुलेटर (पेपर संस्करण)
1. दर (ईवी) प्रति 100 शर्त इकाइयाँ: उदाहरण के लिए, (+ 1। 5%) → (e = 0। 015).
2. दर (· सिग्मा) प्रति राउंड (सत्र लॉग द्वारा या परिणाम तालिका से)। चलो (łsigma = 0। 2) (20%).
3. इष्टतम भिन्न का सन् निकटन (f ^ q autx × frac {e} {łsigma ^ 2} = × frac {0। 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5%) - मोटा, लेकिन ऑर्डर देता है। वास्तव में ⅓ - ½ इस (12-20%) से लें।
4. अपनी वार्षिक वृद्धि दर दर: (g é दृष्टिकोण f e - é frac {(f × sigma) ^ 2} {2})। पर (f = 0। 2):[
g· लगभग 0। 2 × cdot0। 015 - é frac {(0। 2 × cdot0। 2)^2}{2} = 0. 003 - é frac {0। 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22%) × टेक्स्ट {प्रति राउंड}
]बेंचमार्क प्राप्त करने के लिए प्रति वर्ष "स्वतंत्र" राउंड (सीमा और यथार्थवाद को ध्यान में रखते हुए) की संख्या से गुणा करें। यदि 5,000 राउंड हैं, तो अपेक्षित लॉग ग्रोथ ~ (1 - e ^ {-0)। 022} लगभग 2। 2%) (लॉग-सी जटिल प्रतिशत व्याख्या; वास्तविक मौद्रिक गतिकी विचरण के कारण व्यापक होगी)।
महत्वपूर्ण: यह एक सरलीकरण है। स्लॉट में, भारी पूंछ के वितरण को वास्तविक (एफ ^) कम बनाया जाता है और सिमुलेशन की आवश्यकता होती है।
8) सीमा अनुमान में सामान्य त्रुटियां
विचरण को अनदेखा करें: केवल ईवी पढ़ें और रैखिक रूप से स्केल करें।
ओवरबेटिंग: अधिक केली - ड्रॉडाउन की विस्फोटक वृद्धि, दीर्घकालिक लाभप्रदता गिरना।
परिणाम स्वतंत्रता का पुनर्मूल्यांकन: सहसंबद्ध घटनाएं प्रयासों की प्रभावी संख्या को कम करती हैं।
प्रतिबंधों की अनदेखी: दरों/भुगतान की सीमा, समय, कैप प्रोमो - यह सब "आदर्श" छत से कटौती करता है।
उत्तरजीवी पूर्वाग्रह: "सर्वश्रेष्ठ एपिसोड की तरह" पर गणना करें, औसत परिदृश्य नहीं।
9) "लाभ की गणितीय सीमा" का अंतिम शब्द
लंबी दूरी की रणनीति के लिए गणितीय लाभ मार्जिन बर्बादी और दी गई बाधाओं के स्वीकार्य जोखिम पर पूंजी वृद्धि की निरंतर दर का अधिकतम है। इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:1. हस्ताक्षर और मूल्य (ईवी);
2. परिणामों की विचरण/अस्थिरता;
3. इष्टतम दर शेयर (केली/केली शेयर);
4. खेल और बुनियादी ढांचे की मात्रा के लिए वास्तविक सीमा
यदि (EV łle 0) - कोई "शून्य से ऊपर" सीमा नहीं है। यदि (ईवी> 0), केली से एक रूढ़िवादी अंश के साथ सीमांत स्थिर-राज्य विकास प्राप्त किया जाता है, तो बाधाओं और सहसंबंधों को ध्यान में रखते हुए।
10) अभ्यास के लिए जाँच सूची
पुष्टि करें कि आपका कुल EV ≥ 0 (बोनस/कैशबैक/रैकबैक/प्रमोशन शामिल हैं)।
मूल्यांकन (é सिग्मा) और वितरण पूंछ (भारी पूंछ → अनुपात कम करें)।
गणना करें (f ^) और शुरुआत में केली के अंश (⅓ - ½) को लागू करें।
कसकर नियंत्रण आरओआर और अधिकतम ड्रॉडाउन (डीडी)।- जब नियम/सीमा/बाजार परिवर्तन हो तो मॉडल को अद्यतन क
- कैप्चर सत्र, अद्यतन स्कोर (ईवी), (é सिग्मा), (एफ), और "पहुंच अनुपात"।
यह अनुशासन "गणितीय छत" के अमूर्त विचार को एक कार्य योजना उपकरण में बदलना, जोखिम को नियंत्रण में रखना और एक बार के सौभाग्य पर नहीं, बल्कि एक स्थिर, प्रजनन योग्य परिणाम पर लक्ष्य बनाना संभव बनाएगा।