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Come calcolare il limite matematico del profitto
Perché considerare il limite matematico dei profitti?
Il «limite matematico del profitto» è teoricamente il rendimento medio massimo a cui si può aspirare a lunga distanza con i limiti definiti: bankroll iniziale, profilo di rischio, dispersione del gioco, limiti di puntata, tempo e numero di sessioni. Non è una previsione di quanto vincerai domani, ma di un limite superiore che non può essere superato senza aumentare il rischio di rovina.
In pratica, il limite è di tre strati di matematica:1. Rendimenti previsti (mate, EV).
2. Rischio e dispersione (dispersione/volatilità, rischio di rovina).
3. Vincoli (banca, limiti, orizzonte temporale, cap di scommesse/output, barriere psicologiche e operative).
1) Valore base - attesa matematica (EV)
Per una puntata/round:[
EV = \sum_i p_i \cdot x_i
]dove (p _ i) è la probabilità di esito, (x _ i) è il guadagno/perdita in denaro.
Se (EV <0) (come nella maggior parte dei giochi di casinò a causa del vantaggio del locale), il limite teorico dei profitti sulla distanza è negativo: più grandi sono i volumi di gioco, più vicino il risultato effettivo è il minimo.
Se (EV> 0) (meno frequente: bonus-arbitrato, distorsione dei coefficienti, errore dei prezzi), esiste un limite positivo - ma sarà «tagliato» dal rischio e dai limiti.
Profitti medi per N round:[
\mathbb{E}[\Pi_N] = N \cdot EV
]Tuttavia, il semplice «moltiplicare per N» ignora la volatilità e la probabilità di uscire prima di raggiungere il N.
2) Dispersione, volatilità e rischio di rovina
La dispersione determina l'ampiezza dei risultati intorno all'EV. Per la stessa (EV) strategia più volatile richiede una spalla più piccola (quota di banca) e una crescita meno sicura.
La metrica pratica chiave è il rischio di rovina (Risk of Ruin, RoR): la probabilità che la banca scenda a livelli critici (ad esempio, a zero o a un livello di stop definito) prima che il vostro lungo vantaggio si realizzi.
Intuitivamente, più alta è la dispersione e più aggressiva è la puntata, più alta è la percentuale - e più basso è il limite di profitto sostenibile, perché si è più spesso fuori gioco.
3) Limite di profitto attraverso l'aumento di capitale (logico-criterio)
Se l'obiettivo è il massimo tasso di crescita di capitale a lungo termine, viene utilizzato l'utilità logaritmica e il criterio di Kelly. Per una puntata «piccola» con un vantaggio (e) (tasso di interesse previsto per un dollaro) e volatilità (\sigma), con prove indipendenti, il tasso di crescita limite è approssimato:[
g \approx \mathbb{E}[\ln(1+R)] \approx e - \frac{\sigma^2}{2}
]dove (R) è il rendimento del round. Il massimo viene raggiunto con una quota ottimale (f ^) (mezzo Kelly/Kelly - a seconda della forma di distribuzione e del rischio).
Criterio Kelly (intuitivo)
Per il vantaggio bernuliano (ad esempio, «tasso con probabilità di vincita (p) e coefficiente (b) di 1 «):[
f^=\frac{bp-(1-p)}{b}
]Il punto di gioco è mettere una quota di banca proporzionale al vantaggio e inversamente al prezzo di errore.
Il limite di profitto in senso logico è il massimo tasso di crescita sostenibile raggiunto con (f ^). Ogni tasso più alto (f ^) aumenta il rischio di «collasso profondo» e riduce la crescita a lungo termine (overbetting «mangia» il vantaggio).
In pratica, mezzo Kelly (0,5 x (f ^)) viene spesso utilizzato per ridurre la volatilità e il rischio di rovina quasi senza perdere il tasso di crescita negli orizzonti reali e finali.
4) Orizzonte temporale e vincoli di infrastruttura
Anche con (EV> 0) e con (f ^), il soffitto matematico viene tagliato:- Limiti di puntata e di circolazione (tasso massimo, frequenza, limiti di deposito/output).
- Risorsa temporanea (quanti round/eventi stai effettivamente recuperando nel corso del periodo).
- Riduzione dei vantaggi nel tempo (il mercato si adatta, le azioni/bonus cambiano).
- Limitazioni psicologiche (stanchezza, errori di decisione in caso di errori).
Il risultato è il limite reale = «il perfetto logo-limite» x «tasso di raggiungibilità», che spesso è inferiore a 1 a causa di quanto elencato.
5) Metodologia di lavoro per la valutazione del limite matematico
Supponiamo che si stia analizzando la strategia/gioco e si voglia ottenere un punto di riferimento del limite superiore.
Passo 1. Valutare l'EV e la dispersione di un round
Creare una tabella degli esiti: probabilità, pagamenti, costi.
Conteggia (EV).
Valutare la dispersione (\mathrm {Var} (R)) e la deviazione standard (\sigma) del rendimento per round.
Passo 2. Selezionare la metrica di destinazione del limite
Il tasso di crescita di capitale (logico-criterio) è per la distanza infinita/lunga e l'obiettivo principale di «crescere il più velocemente possibile».
Profitti previsti a RoR limitato - Se è più importante mantenere il rischio di rovina al di sotto della soglia specificata (ad esempio <1%).
Passo 3. Trova la quota di puntata ottimale (f)
Usa la formula Kelly (o la sua approssimazione).
Per le distribuzioni complesse (slot, puntate multispazio), la ricerca numerica (f) che massimizza (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).
In un gioco pratico, usare mezza Kelly o una parte di Kelly come un compromesso tra la crescita e le crisi.
Passo 4. Previsioni di una crescita sostenibile
Per «piccolo» (f): (g\approx f\cdot e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}).
Massimo (g) a (f = f ^). Questo è il limite matematico di una crescita sostenibile senza rischi eccessivi.
Un passo avanti. Prendere in considerazione i limiti e il «cap» del volume
Determinare il volume di giri disponibile per il periodo (tempo x velocità x limiti).
Tieni conto della cappa di profitto dei limiti di puntata/pagamento.
Degrado dei vantaggi (modifiche previste alle regole/azioni/pool).
Risultato: limite annuo = (g _ {\text {}}) x numero effettivo di cicli di crescita x tasso di raggiungibilità (0. 5–0. 9 a seconda della realtà).
6) Limite di profitto con EV negativo
Se (EV <0), nessuna progressione dei tassi crea un limite positivo. Il criterio logistico darà un tasso di crescita negativo e la quota ottimale (f ^) cerca di zero (cioè non giocare).
L'unica matematica che aumenta il «limite» nel gioco di svantaggio è la diminuzione del fatturato (meno giochi più piccoli) o la ricerca di un sub-EV positivo all'interno dell'ecosistema (bonus, cashback, rakeback, states VIP) che trasformano il comune (EV) in non rischioso.
7) Mini calcolatore pratico (versione cartacea)
1. Valuta (EV) 100 unità di puntata, ad esempio (+ 1. 5%) → (e=0. 015).
2. Valuta (\sigma) per round (per login di sessione o per tabella di esito). Lascia (\sigma = 0. 2) (20%).
3. Approssimazione della quota ottimale (f ^\approx\frac {e} {\sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. Il 5%) è maleducato, ma dà ordine. Prendete davvero un ⅓ da questo (12-20%).
4. Valuta il tasso di crescita annuale (g\approx f e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}). A (f = 0. 2):[
g \approx 0. 2\cdot0. 015 - \frac{(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 - \frac{0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22% )\text {per round}
]Moltiplicare per numero di giri «indipendenti» in un anno (dato il limite e il realismo) per ottenere un punto di riferimento. Se i round sono 5000, il login di crescita è (1 - e ^ {-0. 022}\approx 2. 2%) (loga a un'interpretazione percentuale complessa; la dinamica monetaria effettiva sarà più ampia a causa della dispersione).
L'importante è la semplificazione. Negli slot di distribuzione le code pesanti rendono reale (f ^) sotto e richiedono simulazioni.
8) Errori comuni nella valutazione del limite
Ignora dispersione: conta solo EV e scala lineare.
Overbetting, scommettere più di Kelly su una crescita esplosiva degli errori, un calo del rendimento a lungo termine.
Rivalutazione dell'indipendenza degli esiti: gli eventi correlati riducono il numero effettivo di tentativi.
Ignorando le restrizioni, i limiti di puntata/pagamento, il tempo, il cap promo, tutto questo taglia il soffitto «perfetto».
Lo spostamento di un sopravvissuto è contare su «come in una serie migliore», non su uno scenario medio.
9) La frase finale «limite matematico del profitto»
Il limite matematico dei profitti per una strategia a lunga distanza è il massimo tasso di crescita di capitale sostenibile, con un rischio accettabile di rovina e limiti imposti. È definito da:1. Carattere e grandezza (EV)
2. dispersione/volatilità dei risultati
3. Percentuale di puntata ottimale (Kelly/quota Kelly);
4. limiti reali di gioco e infrastruttura.
Se (EV\le 0) - Il limite «superiore a zero» non esiste. Se (EV> 0), la crescita massima è sostenuta da Kelly, tenendo conto dei limiti e delle correlazioni.
10) Foglio di assegno per la pratica
Conferma che il tuo EV totale è 0 (inclusi bonus/cache/rakeback/promozioni).
Valutare (\sigma) e le code di distribuzione (code pesanti) abbassare la quota.
Calcola (f ^) e applica la quota di Kelly al lancio.
Controlla in modo rigido il e il massimo (DD).
Aggiornare il modello quando si cambiano le regole/limiti/mercato.
Fissare le sessioni, aggiornare le stime (EV), (\sigma), (f) e il fattore di raggiungibilità.
Questa disciplina consentirà di trasformare l'idea astratta dì soffitto matematico "in uno strumento di pianificazione operativa, di tenere sotto controllo il rischio e di mirare non solo alla fortuna, ma a un risultato sostenibile e riproduttivo.