数学的な利益制限を計算する方法

なぜ「数学的利益率」を考えるのか

「数学的利益マージン」は、理論的には、与えられた制限の下で長距離で目指すことができる最大平均リターンです：初期バンクロール、リスクプロファイル、ゲームの分散、賭けの限界、時間とセッション数。これは「明日どれだけ勝つか」の予報ではなく、破滅のリスクを上げないと着実に超えられない上限です。

実際、限界は3つの数学によって設定されています：

1.予想リターン（予想、EV）。

2.リスクとスプレッド（分散/ボラティリティ、破滅のリスク）。

3.限界（銀行、限界、時間の地平線、レート/引き出しキャップ、心理的および運用上の障壁）。

1）基礎量-期待（EV）

1ベット/ラウンドの場合：

[
EV =\sum_i p_i\cdot x_i
]

ここで（p_i）-結果の確率、（x_i）-金銭的条件での利益/損失。

（EV <0）（確立の利点によるほとんどのカジノゲームのように）、距離での理論的な利益制限は負です：ゲームのボリュームが大きいほど、実際の結果はマイナスに近づきます。

（EV> 0）（それほど一般的ではありません：ボーナス仲裁、係数の歪み、価格誤差）、正の制限があります-しかし、それはリスクと制約によって「カットオフ」されます。

Nラウンドあたりの平均収益：

[
\mathbb {E} ［\Pi_N］=N\cdot EV
]

しかし、単に「Nで乗算」は、ボラティリティとNに到達する前にゲームから出ている可能性を無視します。

2）破滅の分散、ボラティリティ、リスク

分散は、EVの周りで結果がどのくらい変動するかを決定します。同じ（EV）にとって、より不安定な戦略は、より小さなレバレッジ（銀行シェア）を必要とし、より低い安全な成長率を提供します。

重要な実用的指標はRisk of Ruin （RoR）です。銀行が重要なレベル（例えば、ゼロまたは特定の「ストップレベル」）に落ちる可能性は、あなたの長い利点が実現される前にあります。

直感的に：分散が高くなり、ベットサイズが積極的になるほど、RoRが高くなり、持続可能な利益率が低下します。

3）資本成長のプリズムによる利益制限（ログ基準）

目標が資本成長の最大長期レートである場合、対数ユーティリティとケリーのテストが使用されます。利点（e）（1ドルあたりの予想利回り）とボラティリティ（\sigma）を持つ1つの「小さい」レートでは、独立したテストでは、限界成長率は近似されます：

[
g\approx\mathbb {E} ［\ln （1+R） ］\approx e -\frac {\sigma^2}{2}
]

ここで（R）はラウンドあたりの利回りです。最大値は最適なレートシェア（f^）に達します（分配の形態とリスクに応じて、half-Kelly/Kelly）。

ケリー基準（直感的）

Bernoullianの利点のため（例えば。「勝利確率（p）と係数（b）を1「に賭けます）：

[
f^=\frac {bp- （1-p）} {b}
]

ゲームの意味：我々は利点に比例し、エラーの価格に反比例する銀行のシェアを置きます。

ログの意味での利益率は、（f^）で達成された最大持続的な成長率です。上記（f^）のいずれかのレートは「、深いドローダウン」のリスクを高め、長期的な成長を減らします（優位性を過剰に「食べる」）。

実際には、ハーフケリー（0。5 × （f^））は、ボラティリティと破滅のリスクを減らすためによく使用され、実際の最終的な地平線上で成長率をほとんど失わない。

4）インフラの制限の時間の地平線と「上限」

（EV> 0）と有能な（f^）でさえ、あなたの「数学的天井」はカットされます：

レートと売上高の上限（最大レート、頻度、入金/出金上限）。
タイムリソース（期間中に実際にプレイするラウンド/イベントの数）。
時間とともに優位性を低下させる（市場適応、株式/ボーナスの変更）。
心理学的制限（疲労、ドローダウンの誤った決定）。

ボトムライン：real limit=「ideal log limit」 × 「reachability coefficient」で、上記のために1を下回ることが多い。

5）「数学的限界」を推定するための作業方法論"

戦略/ゲームを分析して、上限のランドマークを取得したいとします。

ステップ1。レートEVと1ラウンドの分散

結果の表を構築する：確率、支払い、コスト。

計算（EV）。

ラウンドごとのリターンの分散（\mathrm {Var} （R））と標準偏差（\sigma）を推定します。

ステップ2。ターゲットリミットメトリックを選択する

資本成長率（対数基準）-無限/長距離と「できるだけ速く成長する」という主な目標のために。

限られたRoRで期待される利益-破滅のリスクを与えられたしきい値（例えば、<1％）以下に保つことがより重要な場合。

ステップ3。最適なレートシェアを見つける（f）

ケリー式（またはその近似）を使用します。

複雑な分布（スロット、マルチソースレート）の場合、（\mathbb {E} ［\ln （1+f\cdot R）］）を最大化する数値検索（f）。

実用的なゲームでは、成長とドローダウンの妥協点としてハーフケリーまたはケリー（⅓-½）の一部を使用します。

ステップ4。持続可能な成長予測

「小さい」（f）：（g\approx f\cdot e -\frac {（f\sigma）^2}{2}）。

最大（g） at （f=f^）。これは、過大なリスクを伴わない持続可能な成長の数学的限界です。

ステップ5。ボリュームの制限と「キャップ」を考慮する

期間（ゲーム速度×制限時間）ごと×ラウンドの使用可能量を決定します。

利回り/配当制限から利益キャップを検討してください。

劣化利点（期待ルール/在庫/プールの変更）を作成します。

結果：年間制限=（g_{\text{ustoychivyy}}） ×実効成長サイクル数×到達率（0。5–0.9現実に応じて）。

6）マイナスEVの収益キャップ

（EV <0）の場合、レートの進行がないと正のキャップが作成されます。ログ基準は負の成長率を与え、最適な割合（f^）はゼロになります（つまり、再生しない）。

マイナスゲームで「リミット」を上げる唯一の数学は、売上高の減少（あなたはより少ない→より少なく失う）またはエコシステム内の肯定的なサブEVの検索（ボーナス、キャッシュバック、レイクバック、VIPステータス）であり、一般的な（EV）は否定的ではありません。

7）実用的な小型計算機（ペーパー版）

1.100ベットユニットあたりのレート（EV）： 例えば、（+1。5％）→（e=0。015).

2.1ラウンドあたりのレート（\sigma）（セッションログまたは結果テーブルから）。Let （\sigma=0。2) (20%).

3.最適な分数の近似（f ^\approx\frac {e} {\sigma^2} =\frac {0。015}{0.04}=0.375) (37.5％）-荒い、しかし順序を与えます。本当に⅓を取る-これから½ （12-20％）。

4.（g\approach f e -\frac {（f\sigma）^2}{2}）。At （f=0。2):

[
g\約 0。2\cdot0。015 -\frac {（0。2\cdot0。2)^2}{2} = 0.003 -\frac {0。0016}{2} = 0.003 - 0.0008 = 0.0022,(0.22％ ）\text{ラウンドあたり}
]

ベンチマークを取得するために、年間の「独立した」ラウンドの数（限界と現実性を考慮に入れて）を掛けます。5,000ラウンドがある場合、予想されるログの成長~ （1-e^{-0。022}\約2。2％）（log-c複雑なパーセンテージ解釈；実際の通貨ダイナミクスは、分散のために広くなります）。

重要：これは単純化です。スロットでは、重い尾の分布が実際に（f^）低くなり、シミュレーションが必要になります。

8）限界推定における一般的なエラー

分散を無視：読み取り専用のEVとスケールを直線的に。

Overbetting：より多くのケリーを置く→ドローダウンの爆発的な成長、長期的な収益性の低下。

結果の独立性の再評価：相関する事象は、効果的な試みの数を減らします。

制限を無視する：料金/支払いの制限、時間、キャッププロモーション-これらすべてが「理想的」な天井を切り取っています。

生存者バイアス：「最高のエピソードのように」で数え、平均シナリオではありません。

9）「利益の数学的限界」の最終的な文言"

長期戦略の数学的利益率は、破綻や制約の許容可能なリスクにおける持続的な資本成長率の最大値である。これは次のように定義されます：

1.印および価値（EV）；

2.結果の分散/ボラティリティ；

3.最適なレートシェア（ケリー/ケリーシェア）；

4.ゲームとインフラのボリュームの本当の限界。

（EV\le 0）-「ゼロ以上」制限はありません。（EV> 0）の場合、限界定常成長は、制約と相関を考慮して、ケリーから保守的な割合で達成されます。

10）練習のためのチェックリスト

あなたの合計EV ≥ 0（ボーナス/キャッシュバック/ラックバック/プロモーションを含む）を確認します。

（\sigma）と分布尾（重い尾→割合を減らす）を評価します。

（f^）を計算し、開始時にケリーの分数（⅓-½）を適用します。

RoRと最大ドローダウン（DD）をしっかり制御します。

ルール/制限/マーケットの変更時にモデルを更新します。

セッションのキャプチャ、スコアの更新（EV）、（\sigma）、（f）、および「到達率」。

この分野は、抽象的な「数学的天井」のアイデアを作業計画ツールに変え、リスクを管理し、一度の幸運ではなく、安定した再現可能な結果を目指すことを可能にします。