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수학적 이익 한계를 계산하는 방법
왜 "수학적 이익 마진" 을 고려해야합니까?
"수학적 이익 마진" 은 이론적으로 초기 자금 조달, 위험 프로파일, 게임 차이, 베팅 한도, 시간 및 세션 수와 같은 주어진 한도 하에서 장거리를 목표로 할 수있는 최대 평균 수익률입니다. 이것은 "내일이기는 양" 예측이 아니라 파멸의 위험을 높이지 않으면 꾸준히 초과 할 수없는 상한입니다.
실제로 한계는 세 가지 수학 계층으로 설정됩니다
1. 예상 수익률 (예상, EV).
2. 위험 및 확산 (분산/변동성, 파멸 위험).
3. 제한 (은행, 제한, 시간 지평, 요율/인출 한도, 심리적 및 운영 장벽).
1) 기본 수량-기대 (EV)
하나의 베팅/라운드에 대해:[
EV =\sum _ i p _ i\cdot x _ i
]여기서 (p _ i) - 결과 확률, (x _ i) -금전적 용어로 이익/손실.
(EV <0) (설립의 이점으로 인한 대부분의 카지노 게임에서와 같이) 거리에서의 이론적 이익 제한은 음수입니다. 게임의 양이 클수록 실제 결과는 마이너스에 가깝습니다.
(EV> 0) (일반적으로: 보너스 중재, 계수 왜곡, 가격 오류) 경우 긍정적 인 한계가 있지만 위험과 제약으로 인해 "차단" 됩니다.
N 라운드 당 평균 수입:[
\ matbb {E} [\Pi _ N] = N\cdot EV
]그러나 단순히 "N으로 곱하기" 는 변동성과 N.에 도달하기 전에 게임에서 벗어날 확률을 무시합니다.
2) 변동, 변동성 및 파멸 위험
분산은 EV 주변에서 결과가 얼마나 광범위하게 변동하는지 결정합니다. 동일한 (EV) 의 경우 변동성이 높은 전략에는 더 작은 레버리지 (은행 점유율) 가 필요하며 안전한 성장률이 낮습니다.
주요 실제 지표는 Risk of Ruin (RoR) 입니다. 은행이 긴 이점을 실현하기 전에 임계 수준 (예: 0 또는 주어진 "정지 수준") 으로 떨어질 가능성이 있습니다.
직관적으로: 분산이 높을수록 베팅 크기가 더 공격적이고 RoR이 높을수록 지속 가능한 이익 마진이 낮아집니다.
3) 자본 성장의 프리즘을 통한 이익 제한 (로그 기준)
목표가 최대 장기 자본 성장률이라면 로그 유틸리티 및 Kelly의 테스트가 사용됩니다. 독립적 인 테스트에서 유리한 (e) (달러당 백분율의 예상 수율) 및 변동성 (\sigma) 을 가진 하나의 "작은" 비율의 경우 한계 성장률은 근사합니다
[
g\acrox\mathbb {E} [\ln (1 + R) ]\acrox e-\frac {\sigma ² 2} {2}
]여기서 (R) 은 라운드 당 수율입니다. 최대 속도는 최적 요율 점유율 (f ²) (분포 형태와 위험에 따라 반 켈리/켈리) 에 도달합니다.
켈리 기준 (직관적)
Bernoullian의 이점 (예: "승리 확률 (p) 및 계수 (b) ~ 1":[
f ² =\frac {bp- (1-p)} {b}
]게임 의미: 우리는 은행의 점유율을 이점에 비례하고 오류 가격에 반비례합니다.
로그 의미의 이익 마진은 (f ²) 에서 달성 된 최대 지속 성장률입니다. 위의 모든 비율 (f ²) 은 "깊은 결점" 의 위험을 증가시키고 장기적인 성장을 줄입니다 (오버 베팅은 이점을 "먹습니다").
실제로 반 켈리 (0. 5 × (f ²) 는 종종 변동성과 실제 최종 지평에서 성장률 손실이 거의없는 파멸의 위험을 줄이기 위해 사용됩니다.
4) 인프라 제한의 시간 지평과 "캡"
(EV> 0) 및 유능한 (f ²) 에서도 "수학적 천장" 이 잘립니다
요율 및 회전율 제한 (최대 요율, 빈도, 예금/인출 제한).
시간 자원 (해당 기간 동안 실제로 얼마나 많은 라운드/이벤트를하는지).
시간에 따른 이점 감소 (시장 적응, 주식/보너스 변경).
심리적 한계 (피로, 단점의 잘못된 결정).
결론: 실제 한계 = "이상적인 로그 한계" × "도달 가능성 계수" 는 종종 위로 인해 1보다 낮습니다.
5) "수학적 한계" 를 추정하기위한 작업 방법론
전략/게임을 분석하고 상한의 랜드 마크를 얻고 싶다고 가정하십시오.
1 단계. 한 라운드의 전기 요금 및 분산
확률, 지불, 비용 등 결과 테이블을 작성하십시오.
계산 (EV).
라운드 당 리턴의 분산 (\mathrm {Var} (R)) 및 표준 편차 (\sigma) 를 추정하십시오.
2 단계. 대상 한계 측정 항목 선택
자본 성장률 (로그 기준) - 무한/장거리 및 "가능한 한 빨리 성장" 이라는 주요 목표.
제한된 RoR에서 예상되는 이익-파멸의 위험을 주어진 임계 값 (예: <1%) 이하로 유지하는 것이 더 중요한 경우.
3 단계. 최적의 요율 점유율 찾기 (f)
켈리 공식 (또는 근사) 을 사용하십시오.
복잡한 분포 (슬롯, 다중 소스 속도) 의 경우 최대화하는 숫자 검색 (f) (\matbb {E} [\ln (1 + f\cdot R))).
실용적인 게임에서는 Kelly의 절반 또는 Kelly의 일부를 성장과 결점 사이의 절충안으로 사용하십시오.
4 단계. 지속 가능한 성장 예측
"작은" (f): (g\약 f\cdot e -\frac {(f\sigma) ² 2} {2}).
최대 (g) at (f = f ²). 이것은 과장된 위험없이 지속 가능한 성장의 수학적 한계입니다.
5 단계. 볼륨의 한계 및 "캡" 을 고려하십시오
기간 당 사용 가능한 라운드 양을 제한하십시오 (시간 × 게임 속도 × 제한).
요율/지불 한도에서 이익 한도를 고려하십시오.
성능 저하 이점 (예상 규칙/재고/풀 변경).
결과: 연간 한계 = (g _ {\텍스트 {ustoychivyy}}) × 유효 성장주기 × 도달 성 비율 (0. 5–0. 현실에 따라 9).
6) 네거티브 EV의 수입 한도
(EV <0) 인 경우 속도 진행이 양의 한도를 생성하지 않습니다. 로그 기준은 마이너스 성장률을 제공하며 최적 분수 (f ²) 는 0이되는 경향이 있습니다 (즉, 재생하지 않음).
마이너스 게임에서 "한계" 를 높이는 유일한 수학은 회전율 감소 (→ 감소) 또는 생태계 내에서 긍정적 인 하위 EV (보너스, 캐쉬백, 레이크 백, VIP 상태) 를 검색하는 것입니다. 일반 (EV) 은 음수가 아닙니다.
7) 실용적인 미니 계산기 (종이 버전)
1. 100 베팅 단위당 평가 (EV): 예를 들어 (+ 1. 5%) → (e = 0. 015).
2. 라운드 당 평가 (\시그마) (세션 로그 또는 결과 표에서). (\sigma = 0. 2) (20%).
3. 최적 분수의 근사 (f ²\axic\frac {e} {\sigma ² 2} =\frac {0입니다. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5%) -거칠지 만 주문합니다. 이 (12-20%) 에서 정말 - ½ 을 가져 가십시오.
4. 연간 성장률을 평가하십시오: (g\접근 f e -\frac {(f\sigma) ² 2} {2}). 에서 (f = 0. 2):[
g\약 0. 2 네. 015 -\frac {(0. 2 네. 2)^2}{2} = 0. 003 -\frac {0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. (PHP 3 = 3.0.6, PHP 4)
]벤치 마크를 얻기 위해 매년 "독립적 인" 라운드 수 (한계 및 사실주의를 고려하여) 를 곱합니다. 5,000 라운드가있는 경우 예상되는 로그 성장 ~ (1 - e ² {-0. 022 }\약 2. 2%) (log-c 복소수 백분율 해석; 분산으로 인해 실제 통화 역학이 더 넓어집니다).
중요: 이것은 단순화입니다. 슬롯에서 무거운 꼬리의 분포는 실제 (f ²) 낮아지고 시뮬레이션이 필요합니다.
8) 한계 추정의 일반적인 오류
분산을 무시하십시오: EV 만 읽고 선형으로 확장하십시오.
오버 베팅: 더 많은 Kelly → 폭발적인 결점 성장을 통해 장기적인 수익성이 떨어집니다.
결과 독립성의 재확인: 관련 이벤트는 유효 시도 수를 줄입니다.
제한 무시: 요금/지불 제한, 시간, 상한 프로모션-이 모든 것이 "이상적인" 상한선을 차단합니다.
생존자 편견: 평균 시나리오가 아니라 "최고의 에피소드처럼" 의지하십시오.
9) "수학적 이익 한계" 의 최종 문구
장거리 전략의 수학적 이익 마진은 허용 가능한 파멸 및 주어진 제약 위험에서 지속적인 자본 성장률의 최대치입니다. 다음에 의해 정의됩니다
1. 부호 및 값 (EV);
2. 결과의 분산/변동성;
3. 최적의 요율 점유율 (Kelly/Kelly share);
4. 게임 및 인프라의 양에 대한 실제 한계.
(EV\le 0) 이면 - "0 이상" 제한이 없습니다. (EV> 0) 인 경우, 제약과 상관 관계를 고려하여 Kelly의 보수적 인 분율로 한계 정상 상태 성장이 달성됩니다.
10) 연습 점검표
총 EV 제곱이 0인지 확인하십시오 (보너스/캐쉬백/랙백/프로모션 포함).
평가 (\시그마) 및 분포 꼬리 (무거운 꼬리 → 비율 감소).
처음에는 계산하고 (f ²) 켈리의 분수 (및 ½) 를 적용하십시오.
RoR 및 최대 단점 (DD) 을 엄격하게 제어합니다.
규칙/제한/시장 변경시 모델을 업데이트하십시오.
캡처 세션, 업데이트 점수 (EV), (\시그마), (f) 및 "도달 가능성 비율".
이 분야를 통해 "수학적 한도" 라는 추상적 인 아이디어를 작업 계획 도구로 바꾸고 위험을 통제하며 일회성 행운이 아니라 안정적이고 재현 가능한 결과를 목표로 삼을 수 있습니다.