Jak obliczyć szansę na wygraną na długim dystansie

1) Co dokładnie myślimy

Jesteśmy zainteresowani prawdopodobieństwem bycia w czerni po (N) próbach podanych zasad wypłat i szansą na wygranie jednej próby. Model jest inny dla różnych gier:

Zakłady 1:1 (ruletka, parzysta/dziwna, czerwona/czarna): dyskretny model dwumianu.
Szczeliny: płatności są różnej wielkości, normalne przybliżenie w średniej i wariancji jest wygodniejsze.

Główny pomysł: przy współczynniku XT <0 (krawędź> 0), szansa „przebywania na terytorium dodatnim” zmniejsza się wraz ze wzrostem N. Z Δ> 0, zwiększa się, ale zależy od wariancji.

2) Podstawa czasowa

RTP - średni zwrot (w frakcjach), krawędź = 1 − RTP.

WARTOŚĆ jednej próby (w 1:1 ofercie płacącej 1:1): (XT = p\cdot (+ 1) + (1-p )\cdot (-1) = 2p-1).

Wielkość sprzedaży (=) oferta × liczba prób.

Prawo dużych liczb: średni wynik rozciąga się do (XT) dla dużych (N).

3) 1: 1 stawki: dokładna formuła poprzez dystrybucję dwumianową

Niech (p) będzie prawdopodobieństwem wygrania jednego zakładu, (q = 1-p), zakładu = 1 jednostki, wypłaty 1:1. Dla zakładów (N) liczba wygranych (W\sim\tekst {Bin} (N, p)).

Razem (S = (+ 1 )\cdot W + (-1 )\cdot (N-W) = 2W - N).

Warunek plus jest (S> 0\iff W> N/2). Więc

[
\ boxed {;\Pr (S> 0) =\sum _ {w =\lfloor N/2\rfloor + 1} ^ {N }\binom {N} {w} p ^ w q ^ {N-w};}
]

Przykład (ruletka europejska, 1:1): (p = 18/37\ok. 0. 4865), (q\approx0. 5135).

(N = 50): policzyć ogon rozkładu dwumianu (W> 25).

(N = 500): warunek (W> 250). Ogon staje się znacznie mniejszy ze względu na (p <0. 5).

Normalne przybliżenie (szybkie oszacowanie): na dużym (N), [

W\approx\mathcal {N} (Np,; Np q) ,\quad

\ Pr (S> 0 )\ok. 1-\Phi !\left (\frac {N/2 - Np} {\sqrt {Np q} }\right),]

gdzie (\Phi) jest EME normalnego prawa.

4) Zakłady o różnej wypłacie (np. (k!: ! 1))

Jeśli płacisz (k) za wygraną z prawdopodobieństwem (p), a przegrana wynosi 1 jednostkę, wynikiem jest:

[
S = kW - (N-W) = (k + 1) W - N.
]

Warunek plus to (W >\dfrac {N} {k + 1}). Więc

[
\ Pr (S> 0) =\sum _ {w =\lfloor N/( k + 1 )\rfloor + 1} ^ {N }\binom {N} {w} p ^ w (1-p) ^ {N-w}.
]

Szybkie sprawdzenie ΔV: (XT = kp - (1-p) = (k + 1) p-1). Jeśli (Δ< 0), plus szansa spada wraz ze wzrostem (N).

5) Szczeliny: normalne przybliżenie według średniej i wariancji

W gniazdach wypłata jednej próby (X) ma oczekiwanie (\mu = RTP - 1 = -edge) (w ułamkach zakładu) i wariancję (\sigma ^ 2) (gniazdo/zmienność zależne). Kwota na (N) spin:

[
S_N\approx\mathcal {N }\big (N\mu,; N\sigma ^ 2\duże).
]

Plus szansa:

[
\ boxed {;\Pr (S_N>0 )\ok. 1 -\Phi !\left (\frac {0 - N\mu} {\sigma\sqrt {N} }\right)
= 1 -\Phi !\left (\frac {-N (-edge)} {\sigma\sqrt {N} }\right)
= 1 -\Phi !\left (\frac {edge\sqrt {N}} {\sigma }\right);}
]

Intuicja: przy stałej krawędzi> 0 mianownik rośnie (\sqrt {N}), więc prawdopodobieństwo a plus zmniejsza się wraz ze wzrostem (N). Im wyższa (\sigma) (zmienność), tym wolniejsza chwiejność (szersze ogony).

Znaki (\sigma) „na palcach”:

Średnie gniazda zmienności: (\sigma) jedna próba ≤ 1. 5-3 stawki.
Wysoka zmienność: 3-6 zakładów.
Zastąpić we wzorze, aby oszacować kolejność wielkości.

6) Przedziały ufności „gdzie będę” po N

Poprzez CPT:

[
S_N\ok. N\cdot XT\pm z_{\alpha}\cdot\sigma\sqrt {N}.
]

Dla ruletki 1:1, weź (\sigma _ {\text {one} }\ok. 1) zakład.

W przypadku gniazd użyj punktów orientacyjnych (\sigma) powyżej.

Daje to „korytarz”, gdzie wynik może spaść. Jeśli „0” leży daleko po prawej stronie średniej (N\cdot XT) przy XT <0, szansa plus jest niewielka.

7) Szybkie mini kalkulatory

A. 1: 1 miara taśmy (normalne przybliżenie)

[
z =\frac {N/2 - Np} {\sqrt {Np (1-p)}} ,\quad\Pr (\text {мла} )\ok 1-\Phi (z).
]

B. Ogólny przypadek k: 1

[
z =\frac {N/( k + 1) - Np} {\sqrt {Np (1-p)}} ,\quad\Pr (\text {мла} )\ok 1-\Phi (z).
]

C. Przydziały czasu na start lub lądowanie

[
\ Pr (\tekst {млин} )\ok. 1-\Phi !\lewy (\frac {edge\sqrt {N}} {\sigma }\prawy) ,\quad\tekst {мда} krawędź = 1-RTP.
]

8) Konkretne przykłady

Przykład 1 - 1:1 miara taśmy, (N = 200).

(p = 18/37\approx0. 4865), (Np = 97. 3), próg (N/2 = 100).

(\sigma =\sqrt {Np (1-p) }\ok\sqrt {200\cdot0. 4865\cdot0. 5135 }\ok. 7. 07).

(z = (100-97. 3)/7. 07\x ok. 0. 38) → (\Pr (\text {plus} )\ok. 1-\Phi (0. 38 )\ok. 35%).

Przykład 2 - 1:1 miara taśmy, (N = 1000).

(Np = 486. 5), próg 500, (\sigma\podejście 15. 8), (z\x ok. 0. 85) → (\Pr (\text {plus} )\podejście 19. 7%).

Wzrost (N) zmniejsza szansę na plus (Δ< 0).

Przykład 3 - gniazdo RTP 96%, średnia zmienność.

krawędź = 0. 04, niech (\sigma) jedna próba = 2 zakłady.

(N = 1000): (\dfrac {edge\sqrt {N}} {\sigma} =\dfrac {0. 04\cdot31. 62} {2 }\ok 0. 632) → (\Pr (\text {plus} )\ok. 1-\Phi (0. 632 )\ok. 26. 4%).

(N = 10 000): miara (\podejście 2. 0) → (\Pr (\text {plus} )\podejście 2. 3%).

9) Jak stosować obliczenia w praktyce

Znaj ramki: z XT <0, długa odległość działa przeciwko Tobie - szansa na plus zmniejsza się.

W ramach celu - profil zmienności: dla turniejów/teik-profits z asymetrią, można preferować wysoką objętość (więcej ogonów), ale z mniejszym udziałem zakładu.

Stopa procentowa bankrolla (BR):

high-vol: 0. 25–0. 75% BR, średni: ~ 1% BR, niski/1: 1: 1-2% BR.
Graj w serii: limit (N) w sesji - kontroluj prawdopodobieństwo „going minus far”.
Kontrola prędkości: „cena za godzinę” (\approach edge\times\text {bid }\times\text {attempts/min }\times 60).
Vager: Cost (\approach\text {Bonus }\times\text {Vager }\times edge). Na dużą odległość, wynik grawituje w kierunku tej ceny.

10) Częste błędy w interpretacji

"Po serii minusów rośnie szansa na plus. "Nie: niezależność wyników.

"Podwyższę stawkę - zwiększę szansę na plus na odległość. "Nie: zwiększysz obroty i wariancję, nie (p) i nie RTP.

"Jeśli wytrzymasz wystarczająco długo, wyjdę jako plus. "Przy ALE <0 prawdopodobieństwo przeciwieństwa jest wyższe.

11) Lista kontrolna (w 60 sekund)

1. Znasz (p), (k) (lub RTP/krawędź i zamówienie (\sigma))?

2. Obliczony próg wygranej: (N/2) (1:1) lub (N/( k + 1))?

3. Szacowany (\Pr (\text {plus}) przez ogon dwumianu lub przez normalne z?

4. Stawka ustawiona na% bieżącego BR?

5. Czy istnieje limit (N) na sesję i poziomy stop (SL/TP)?

6. Prędkość/” cena godziny” pod kontrolą?

Prawdopodobieństwo „przebywania na terytorium dodatnim” po próbach (N) zależy od oczekiwań i rozprzestrzeniania się: przy XT <0 zmniejsza się wraz ze wzrostem odległości (zwłaszcza w współczynnikach równowagi 1:1), przy XT> 0 zwiększa się, ale tempo zależy od zmienności. Użyj dwumianowych ogonków do prostych zakładów i normalnych przybliżeń do automatów, trzymaj zakład na% bankroll, grać w serii i szybkość kontroli - w ten sposób zmieniasz abstrakcyjną teorię w zrozumiałe decyzje o ryzyku i czasie trwania gry.