Jak obliczyć limit zysku matematycznego

Dlaczego warto rozważyć „matematyczną marżę zysku” w ogóle

„Matematyczna marża zysku” to teoretycznie maksymalny średni zwrot, jaki można osiągnąć na długim dystansie w ramach określonych limitów: początkowego bankrolla, profilu ryzyka, wariancji gry, limitów zakładów, czasu i liczby sesji. Nie jest to prognoza „ile wygrasz jutro”, ale górna granica, której nie można stale przekraczać bez zwiększania ryzyka ruiny.

W rzeczywistości granicę wyznaczają trzy warstwy matematyki:

1. Oczekiwany zwrot (oczekiwany, Δ.).

2. Ryzyko i rozkład (zmienność/zmienność, ryzyko ruiny).

3. Ograniczenia (bank, limity, horyzont czasowy, pułap stopy/wypłaty, bariery psychologiczne i operacyjne).

1) Ilość bazowa - Oczekiwanie

Dla jednego zakładu/rundy:

[
XT =\sum _ i p_i\cdot x_i
]

gdzie (p_i) - prawdopodobieństwo wyniku, (x_i) - zysk/strata w ujęciu pieniężnym.

Jeśli (XT <0) (jak w większości gier kasynowych ze względu na przewagę zakładu), teoretyczny limit zysku na odległość jest ujemny: im większa objętość gry, tym bliżej rzeczywisty wynik jest do minus.

Jeśli (XT> 0) (rzadziej: arbitraż bonusowy, skewing współczynników, błąd cenowy), istnieje dodatni limit - ale będzie „odcięty” przez ryzyko i ograniczenia.

Średnie zarobki na rundę N:

[
\ mathbb {E} [\Pi _ N] = N\cdot XT
]

Jednak po prostu „pomnożyć przez N” ignoruje zmienność i prawdopodobieństwo wyjścia z gry przed osiągnięciem N.

2) Zmienność, zmienność i ryzyko ruiny

Wariancja decyduje o tym, jak szeroko wyniki będą wahać się wokół Δ. W tym samym przypadku bardziej niestabilna strategia wymaga mniejszej dźwigni finansowej (udział w banku) i zapewnia niższą bezpieczną stopę wzrostu.

Kluczową praktyczną metryką jest Risk of Ruin (RoR): prawdopodobieństwo, że bank spadnie do poziomu krytycznego (na przykład do zera lub danego „poziomu stop”) przed osiągnięciem długiej przewagi.

Intuicyjnie: Im wyższa wariancja i tym bardziej agresywny rozmiar zakładu, tym wyższy RoR - i niższa stabilna marża zysku, ponieważ jest bardziej prawdopodobne, że „wypadnie”.

3) Limit zysku poprzez pryzmat wzrostu kapitału (kryterium logarytmu)

Jeśli celem jest maksymalna długoterminowa stopa wzrostu kapitału, wykorzystuje się użyteczność logarytmiczną i test Kelly. Dla jednej „małej” stopy z korzyścią (e) (oczekiwany zysk procentowy na dolara) i zmienności (\sigma), w niezależnych testach, krańcowa stopa wzrostu jest przybliżona:

[
g\ok\mathbb {E} [\ln (1 + R) ]\ok e -\frac {\sigma ^ 2} {2}
]

gdzie (R) oznacza wydajność na rundę. Maksimum osiąga się przy optymalnej stawce (f ^) (pół-Kelly/Kelly - w zależności od formy dystrybucji i ryzyka).

Kryterium Kelly (intuicyjne)

Dla korzyści bernoulliańskiej (np. „zakład z prawdopodobieństwem wygranej (p) i współczynnikiem (b) do (1) „):

[
f ^ =\frac {bp- (1-p)} {b}
]

Znaczenie gry: stawiamy udział banku proporcjonalny do korzyści i odwrotnie proporcjonalny do ceny błędu.

Marża zysku w znaczeniu logarytmu to maksymalna utrzymująca się stopa wzrostu osiągnięta na poziomie (f ^). Każda stopa powyżej (f ^) zwiększa ryzyko „głębokiego wykorzystania” i zmniejsza długoterminowy wzrost (przechylenie „zjada” przewagę).

W praktyce, pół-Kelly (0. 5 × (f ^)) jest często używany do zmniejszenia zmienności i ryzyka ruiny, niemal bez utraty tempa wzrostu w rzeczywistych, końcowych horyzoncie.

4) Horyzont czasowy i „pułap” ograniczeń infrastrukturalnych

Nawet z (XT> 0) i kompetentne (f ^), twój „sufit matematyczny” jest cięty:

Limity kursu i obrotu (maksymalna stopa, częstotliwość, limity depozytów/wypłat).
Zasoby czasu (ile rund/wydarzeń naprawdę grasz w ciągu okresu).
Zmniejszenie przewagi w czasie (dostosowanie rynku, zmiana zapasów/premii).
Ograniczenia psychologiczne (zmęczenie, błędne decyzje w wyciągach).

Dolna linia: prawdziwa granica = „idealna granica dziennika” × „współczynnik osiągalności”, która często jest niższa od 1 ze względu na powyższe.

5) Metodyka pracy przy szacowaniu „granicy matematycznej”

Załóżmy, że analizujesz strategię/grę i chcesz uzyskać przełom górnej granicy.

Krok 1. Szybkość Δi wariancja jednej rundy

Zbuduj tabelę wyników: prawdopodobieństwa, płatności, koszty.

Obliczyć (XT).

Oszacować wariancję (\mathrm {Var} (R)) i odchylenie standardowe (\sigma) zwrotów na rundę.

Krok 2. Wybierz metryczny limit docelowy

Stopa wzrostu kapitału (kryterium logarytmu) - dla nieskończonej/długiej odległości i główny cel „jak najszybszego wzrostu”.

Oczekiwany zysk przy ograniczonym RoR - jeżeli ważniejsze jest utrzymanie ryzyka ruiny poniżej określonego progu (na przykład <1%).

Krok 3. Znajdź optymalny udział procentowy (f)

Użyj wzoru Kelly (lub jego przybliżenia).

W przypadku skomplikowanych dystrybucji (sloty, stawki wielozadaniowe) wyszukiwanie numeryczne (f), które maksymalizuje (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).

W praktycznej grze, użyj połowy Kelly lub części Kelly (- ½) jako kompromis między wzrostem a wyciągami.

Krok 4. Prognoza zrównoważonego wzrostu gospodarczego

Z „małym” (f): (g\x f\cdot e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}).

Maksymalna (g) przy (f = f ^). Jest to matematyczna granica zrównoważonego wzrostu bez nadmiernego ryzyka.

Krok 5. Należy wziąć pod uwagę ograniczenia i „pułap” objętości

Określić dostępną ilość rund na okres (czas × prędkość gry × ograniczenia).

Rozważyć pułap zysku z limitów stopy/wypłaty.

Odnieść korzyść z degradacji (oczekiwana zasada/zmiany stanu/puli).

Wynik: roczny limit = (g_{\text{ustoychivyy}}) × efektywna liczba cykli wzrostu × stosunek osiągalności (0. 5–0. 9 w zależności od rzeczywistości).

6) Pułap zarobków na ujemnych NIP

Jeśli (Δ< 0), progresja nie spowoduje pozytywnego pułapu. Kryterium logarytmu daje ujemną szybkość wzrostu, a optymalna frakcja (f ^) ma tendencję do zera (czyli nie do gry).

Jedyną matematyką, która podnosi „limit” w grze minus jest spadek obrotów (grasz mniej → tracisz mniej) lub poszukiwanie pozytywnego subpoziomu w ekosystemie (bonusy, cashback, rakeback, statusy VIP), które przekształcają ogólne (XT) w nieujemne.

7) Praktyczny mini-kalkulator (wersja papierowa)

1. Stawka na 100 sztuk zakładu: na przykład, (+ 1. 5%) → (e = 0. 015).

2. Szybkość (\sigma) na rundę (według dziennika sesji lub z tabeli wyników). Niech (\sigma = 0. 2) (20%).

3. Przybliżenie frakcji optymalnej (f ^\x\frac {e} {\sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5%) - szorstki, ale daje zamówienie. Naprawdę bierzesz z tego ", a nawet" ½ "(12-20%).

4. Oceń roczną stopę wzrostu: (g\podejście f e -\frac {(f\sigma) ^ 2} {2}). At (f = 0. 2):

[
g\x ok. 0. 2\cdot0. 015 -\frac {(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 -\frac {0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22% )\tekst {na rundę}
]

Pomnożyć przez liczbę „niezależnych” rund rocznie (z uwzględnieniem limitów i realizmu), aby uzyskać punkt odniesienia. Jeśli istnieje 5000 rund, spodziewany wzrost dziennika ~ (1 - e ^ {-0. 022 }\ok. 2. 2%) (złożona interpretacja procentowa log-c; rzeczywista dynamika pieniężna będzie szersza ze względu na wariancję).

Ważne: jest to uproszczenie. W szczelinach rozkład ciężkich ogonów jest realny (f ^) niższy i wymaga symulacji.

8) Częste błędy w szacowaniu limitów

Ignoruj wariancję: przeczytaj tylko XT i skala liniowo.

Przechylenie: wprowadzenie więcej Kelly → wybuchowy wzrost wypłat, spadek długoterminowej rentowności.

Ponowna ocena niezależności wyników: Skorelowane zdarzenia zmniejszają efektywną liczbę prób.

Ignorowanie ograniczeń: limity stawek/płatności, czas, cap promo - wszystko to odcina „idealny” pułap.

Stronniczość ocalałych: Licz na „jak w najlepszym odcinku”, a nie na przeciętny scenariusz.

9) W przedmiocie ostatecznego brzmienia „matematycznej granicy zysku”

Matematyczna marża zysku dla strategii dalekiego zasięgu jest maksymalną trwałą stopą wzrostu kapitału przy akceptowalnym ryzyku ruiny i biorąc pod uwagę ograniczenia. Definiuje się ją przez:

1. znak i wartość (XT);

2. zmienność/zmienność wyników;

3. optymalny udział procentowy (udział Kelly/Kelly);

4. rzeczywiste limity wolumenu gry i infrastruktury.

Jeśli (XT\le 0) - nie ma granicy „powyżej zera”. Jeśli (Δ> 0), margines wzrostu w stanie stacjonarnym osiąga się z ułamkiem konserwatywnym Kelly, biorąc pod uwagę ograniczenia i korelacje.

10) Lista kontrolna dla praktyki

Potwierdź, że Twoja łączna wartość ≥ 0 (zawiera bonusy/cashback/rackback/promocje).

Ocenić (\sigma) i dystrybucji ogony (ciężkie ogony → zmniejszyć odsetek).

Obliczyć (f ^) i zastosować ułamek Kelly'ego (na początku - ½).

Ścisłe sterowanie RoR i maksymalne pobieranie (DD).

Zaktualizuj model, gdy zasady/limity/zmiany rynku.

Przechwytywanie sesji, aktualizowanie wyników (XT), (\sigma), (f) oraz „wskaźnik osiągalności”.

Ta dyscyplina umożliwi przekształcenie abstrakcyjnej idei „sufitu matematycznego” w narzędzie do planowania pracy, utrzymywanie kontroli nad ryzykiem i dążenie nie do jednorazowego szczęścia, ale do stabilnego, powtarzalnego wyniku.