Крипто-казино
Torrent Gear
Как рассчитать математический предел прибыли
Зачем вообще считать «математический предел прибыли»
«Математический предел прибыли» — это теоретически максимальная средняя доходность, к которой вы можете стремиться на длинной дистанции при заданных ограничениях: начальный банкролл, риск-профиль, дисперсия игры, лимиты ставок, время и количество сессий. Это не прогноз «сколько вы выиграете завтра», а верхняя граница, которую нельзя устойчиво превышать без повышения риска разорения.
По сути, предел задают три слоя математики:1. Ожидаемая доходность (матожидание, EV).
2. Риск и разброс (дисперсия/волатильность, риск разорения).
3. Ограничения (банк, лимиты, временной горизонт, кап ставок/вывода, психологические и операционные барьеры).
1) Базовая величина — математическое ожидание (EV)
Для одной ставки/раунда:[
EV = \sum_i p_i \cdot x_i
]где (p_i) — вероятность исхода, (x_i) — прибыль/убыток в денежном выражении.
Если (EV < 0) (как в большинстве казино-игр из-за преимущества заведения), теоретический предел прибыли на дистанции отрицателен: чем больше объём игры, тем ближе фактический итог к минусу.
Если (EV > 0) (реже: бонус-арбитраж, перекос коэффициентов, ошибка ценообразования), существует положительный предел — но он будет «срезан» риском и ограничениями.
Средняя прибыль за N раундов:[
\mathbb{E}[\Pi_N] = N \cdot EV
]Однако простое «умножить на N» игнорирует волатильность и вероятность выбыть из игры до достижения N.
2) Дисперсия, волатильность и риск разорения
Дисперсия определяет, насколько широко будут колебаться результаты вокруг EV. Для одинакового (EV) более волатильная стратегия требует меньшего плеча (доли банка) и даёт меньший безопасный темп роста.
Ключевая практическая метрика — риск разорения (Risk of Ruin, RoR): вероятность того, что банк упадёт до критического уровня (например, до нуля или заданного «стоп-уровня») до того, как реализуется ваше длинное преимущество.
Интуитивно: чем выше дисперсия и чем агрессивнее размер ставки, тем выше RoR — и тем ниже устойчивый предел прибыли, потому что вы чаще «выпадаете из игры».
3) Предел прибыли через призму роста капитала (лог-критерий)
Если цель — максимальный долгосрочный темп роста капитала, используется логарифмическая полезность и критерий Келли. Для одной «малой» ставки с преимуществом (e) (ожидаемая доходность в процентах на доллар) и волатильностью (\sigma), при независимых испытаниях, предельный темп роста аппроксимируется:[
g \approx \mathbb{E}[\ln(1+R)] \approx e - \frac{\sigma^2}{2}
]где (R) — доходность за раунд. Максимум достигается при оптимальной доле ставки (f^) (пол-Келли/Келли — в зависимости от формы распределения и вашего риска).
Критерий Келли (интуитивно)
Для бернуллиевского преимущества (например, «ставка с вероятностью выигрыша (p) и коэффициентом (b) к 1»):[
f^=\frac{bp-(1-p)}{b}
]Игровой смысл: ставим долю банка, пропорциональную преимуществу и обратно пропорциональную цене ошибки.
Предел прибыли в лог-смысле — это максимум устойчивого темпа роста, достигаемый при (f^). Любая ставка выше (f^) повышает риск «глубокой просадки» и снижает долгосрочный рост (overbetting «съедает» преимущество).
На практике часто используют пол-Келли (0,5 × (f^)) для снижения волатильности и риска разорения почти без потери темпа роста на реальных, конечных горизонтах.
4) Временной горизонт и «кап» инфраструктурных ограничений
Даже при (EV>0) и грамотном (f^), ваш «математический потолок» урезают:- Лимиты ставок и оборота (макс. ставка, частота, лимиты депозита/вывода).
- Временной ресурс (сколько раундов/событий вы реально отыгрываете за период).
- Снижение преимущества со временем (рынок адаптируется, акции/бонусы меняются).
- Психологические ограничения (усталость, ошибочные решения в просадках).
Итог: реальный предел = «идеальный лог-предел» × «коэффициент достижимости», который часто ниже 1 из-за перечисленного.
5) Рабочая методика оценки «математического предела»
Предположим, вы анализируете стратегию/игру и хотите получить ориентир верхней границы.
Шаг 1. Оцените EV и дисперсию одного раунда
Постройте таблицу исходов: вероятности, выплаты, затраты.
Посчитайте (EV).
Оцените дисперсию (\mathrm{Var}(R)) и стандартное отклонение (\sigma) доходности за раунд.
Шаг 2. Выберите целевую метрику предела
Темп роста капитала (лог-критерий) — для бесконечной/длинной дистанции и главной цели «расти как можно быстрее».
Ожидаемая прибыль при ограниченном RoR — если важнее удерживать риск разорения ниже заданного порога (например, <1%).
Шаг 3. Найдите оптимальную долю ставки (f)
Используйте формулу Келли (или её аппроксимации).
Для сложных распределений (слоты, многоисходные ставки) — численный поиск (f), который максимизирует (\mathbb{E}[\ln(1+f\cdot R)]).
В практической игре применяйте пол-Келли или часть Келли (⅓–½) как компромисс между ростом и просадками.
Шаг 4. Прогноз устойчивого темпа роста
При «малом» (f): (g \approx f\cdot e - \frac{(f\sigma)^2}{2}).
Максимум (g) при (f=f^). Это и есть математический предел устойчивого роста без завышенного риска.
Шаг 5. Учтите ограничения и «кап» объёма
Определите доступный объём раундов за период (время × скорость игры × лимиты).
Учтите кап прибыли из лимитов ставок/выплат.
Внесите деградацию преимущества (ожидаемые изменения правил/акций/пула).
Результат: годовой предел = (g_{\text{устойчивый}}) × эффективное число циклов роста × коэффициент достижимости (0.5–0.9 в зависимости от реалий).
6) Предел прибыли при отрицательном EV
Если (EV<0), никакая прогрессия ставок не создаст положительный предел. Лог-критерий даст отрицательный темп роста, а оптимальная доля (f^) стремится к нулю (то есть не играть).
Единственная математика, повышающая «предел» в минусовой игре, — снижение оборота (меньше играете → меньше теряете) или поиск положительного суб-EV внутри экосистемы (бонусы, кешбэк, рейкбек, статусы VIP), которые превращают общий (EV) в неотрицательный.
7) Практический мини-калькулятор (бумажная версия)
1. Оцените (EV) на 100 единиц ставки: например, (+1.5%) → (e=0.015).
2. Оцените (\sigma) на раунд (по логу сессий или из таблицы исходов). Пусть (\sigma=0.2) (20%).
3. Аппроксимация оптимальной доли (f^\approx \frac{e}{\sigma^2} = \frac{0.015}{0.04}=0.375) (37.5%) — грубая, но даёт порядок. Реально возьмите ⅓–½ от этого (12–20%).
4. Оцените годовой темп роста: (g \approx f e - \frac{(f\sigma)^2}{2}). При (f=0.2):[
g \approx 0.2\cdot0.015 - \frac{(0.2\cdot0.2)^2}{2} = 0.003 - \frac{0.0016}{2} = 0.003 - 0.0008 = 0.0022,(0.22%) \text{ за раунд}
]Умножьте на число «независимых» раундов за год (учитывая лимиты и реалистичность), чтобы получить ориентир. Если раундов 5 000, ожидаемый лог-рост ~ (1 - e^{-0.022}\approx 2.2%) (лог-к сложной процентной интерпретации; фактическая денежная динамика будет шире из-за дисперсии).
Важно: это упрощение. В слотах распределения тяжёлых хвостов делают реальный (f^) ниже и требуют симуляций.
8) Распространённые ошибки при оценке предела
Игнорировать дисперсию: считать только EV и масштабировать линейно.
Овербеттинг: ставить больше Келли → взрывной рост просадок, падение долгосрочной доходности.
Переоценка независимости исходов: коррелированные события снижают эффективное число попыток.
Игнор ограничений: лимиты ставок/выплат, время, кап промо — всё это обрубает «идеальный» потолок.
Смещение выжившего: рассчитывать на «как в лучшей серии», а не на средний сценарий.
9) Итоговая формулировка «математического предела прибыли»
Математический предел прибыли для стратегии на длинной дистанции — это максимум устойчивого темпа роста капитала при допустимом риске разорения и заданных ограничениях. Он определяется:1. знаком и величиной (EV);
2. дисперсией/волатильностью результатов;
3. оптимальной долей ставки (Келли/доля Келли);
4. реальными лимитами объёма игры и инфраструктуры.
Если (EV\le 0) — предела «выше нуля» не существует. Если (EV>0), предельный устойчивый рост достигается при консервативной доле от Келли с учётом ограничений и корреляций.
10) Чек-лист для практики
Подтвердите, что ваш общий EV ≥ 0 (включая бонусы/кешбэк/рейкбек/акции).
Оцените (\sigma) и хвосты распределения (тяжёлые хвосты → снижайте долю).
Рассчитайте (f^) и применяйте долю Келли (⅓–½) на старте.
Жёстко контролируйте RoR и максимальную просадку (DD).
Актуализируйте модель при изменении правил/лимитов/рынка.
Фиксируйте сессии, обновляйте оценки (EV), (\sigma), (f) и «коэффициент достижимости».
Эта дисциплина позволит превратить абстрактную идею «математического потолка» в рабочий инструмент планирования, удерживать риск под контролем и целиться не в разовые удачи, а в устойчивый, воспроизводимый результат.