Крипто-казино
Torrent Gear
Як розрахувати математичну межу прибутку
Навіщо взагалі рахувати «математичну межу прибутку»
«Математична межа прибутку» - це теоретично максимальна середня прибутковість, до якої ви можете прагнути на довгій дистанції при заданих обмеженнях: початковий банкролл, ризик-профіль, дисперсія гри, ліміти ставок, час і кількість сесій. Це не прогноз «скільки ви виграєте завтра», а верхня межа, яку не можна стійко перевищувати без підвищення ризику розорення.
По суті, межа задають три шари математики:1. Очікувана прибутковість (очікування, EV).
2. Ризик і розкид (дисперсія/волатильність, ризик розорення).
3. Обмеження (банк, ліміти, часовий горизонт, кап ставок/виведення, психологічні та операційні бар'єри).
1) Базова величина - математичне очікування (EV)
Для однієї ставки/раунду:[
EV = \sum_i p_i \cdot x_i
]де (p_i) - ймовірність результату, (x_i) - прибуток/збиток у грошовому вираженні.
Якщо (EV <0) (як у більшості казино-ігор через перевагу закладу), теоретична межа прибутку на дистанції негативна: чим більший обсяг гри, тим ближче фактичний підсумок до мінуса.
Якщо (EV> 0) (рідше: бонус-арбітраж, перекіс коефіцієнтів, помилка ціноутворення), існує позитивна межа - але він буде «зрізаний» ризиком і обмеженнями.
Середній прибуток за N раундів:[
\mathbb{E}[\Pi_N] = N \cdot EV
]Однак просте «помножити на N» ігнорує волатильність і ймовірність вибути з гри до досягнення N.
2) Дисперсія, волатильність і ризик розорення
Дисперсія визначає, наскільки широко будуть коливатися результати навколо EV. Для однакового (EV) більш волатильна стратегія вимагає меншого плеча (частки банку) і дає менший безпечний темп зростання.
Ключова практична метрика - ризик розорення (Risk of Ruin, RoR): ймовірність того, що банк впаде до критичного рівня (наприклад, до нуля або заданого «стоп-рівня») до того, як реалізується ваша довга перевага.
Інтуїтивно: чим вище дисперсія і чим агресивніше розмір ставки, тим вище RoR - і тим нижче стійка межа прибутку, тому що ви частіше «випадаєте з гри».
3) Межа прибутку через призму зростання капіталу (лог-критерій)
Якщо мета - максимальний довгостроковий темп зростання капіталу, використовується логарифмічна корисність і критерій Келлі. Для однієї «малої» ставки з перевагою (e) (очікувана прибутковість у відсотках на долар) і волатильністю (\sigma), при незалежних випробуваннях, граничний темп зростання апроксимується:[
g \approx \mathbb{E}[\ln(1+R)] \approx e - \frac{\sigma^2}{2}
]де (R) - прибутковість за раунд. Максимум досягається при оптимальній частці ставки (f ^) (пів-Келлі/Келлі - залежно від форми розподілу і вашого ризику).
Критерій Келлі (інтуїтивно)
Для бернуллієвської переваги (наприклад, «ставка з імовірністю виграшу (p) і коефіцієнтом (b) до 1 «):[
f^=\frac{bp-(1-p)}{b}
]Ігровий сенс: ставимо частку банку, пропорційну перевазі і обернено пропорційну ціні помилки.
Межа прибутку в лог-сенсі - це максимум стійкого темпу зростання, що досягається при (f ^). Будь-яка ставка вище (f ^) підвищує ризик «глибокої осідання» і знижує довгострокове зростання (overbetting «з'їдає» перевагу).
На практиці часто використовують пол-Келлі (0,5 × (f ^)) для зниження волатильності і ризику розорення майже без втрати темпу зростання на реальних, кінцевих горизонтах.
4) Часовий горизонт і «кап» інфраструктурних обмежень
Навіть при (EV> 0) і грамотному (f ^), ваш «математичний стелю» урізають:- Ліміти ставок і обороту (макс. ставка, частота, ліміти депозиту/виведення).
- Часовий ресурс (скільки раундів/подій ви реально відіграєте за період).
- Зниження переваги з часом (ринок адаптується, акції/бонуси змінюються).
- Психологічні обмеження (втома, помилкові рішення в осіданнях).
Підсумок: реальна межа = «ідеальний лог-межа» × «коефіцієнт досяжності», який часто нижче 1 через перерахованого.
5) Робоча методика оцінки «математичної межі»
Припустимо, ви аналізуєте стратегію/гру і хочете отримати орієнтир верхньої межі.
Крок 1. Оцініть EV і дисперсію одного раунду
Побудуйте таблицю результатів: ймовірності, виплати, витрати.
Порахуйте (EV).
Оцініть дисперсію (\mathrm {Var} (R)) і стандартне відхилення (\sigma) прибутковості за раунд.
Крок 2. Виберіть цільову метрику межі
Темп зростання капіталу (лог-критерій) - для нескінченної/довгої дистанції і головної мети «рости якомога швидше».
Очікуваний прибуток при обмеженому RoR - якщо важливіше утримувати ризик розорення нижче заданого порогу (наприклад, <1%).
Крок 3. Знайдіть оптимальну частку ставки (f)
Використовуйте формулу Келлі (або її апроксимації).
Для складних розподілів (слоти, багатовихідні ставки) - чисельний пошук (f), який максимізує (\mathbb {E} [\ln (1 + f\cdot R)]).
У практичній грі застосовуйте пів-Келлі або частину Келлі (⅓ - ½) як компроміс між зростанням і осіданнями.
Крок 4. Прогноз стійкого темпу зростання
При «малому» (f): (g \approx f\cdot e - \frac{(f\sigma)^2}{2}).
Максимум (g) при (f = f ^). Це і є математична межа стійкого зростання без завищеного ризику.
Крок 5. Врахуйте обмеження і «кап» обсягу
Визначте доступний обсяг раундів за період (час × швидкість гри × ліміти).
Врахуйте кап прибутку з лімітів ставок/виплат.
Внесіть деградацію переваги (очікувані зміни правил/акцій/пулу).
Результат: річна межа = (g_{\text{устойчивый}}) × ефективне число циклів зростання × коефіцієнт досяжності (0. 5–0. 9 залежно від реалій).
6) Межа прибутку при негативному EV
Якщо (EV <0), ніяка прогресія ставок не створить позитивну межу. Лог-критерій дасть негативний темп зростання, а оптимальна частка (f ^) прагне до нуля (тобто не грати).
Єдина математика, що підвищує «межу» в мінусовій грі, - зниження обороту (менше граєте → менше втрачаєте) або пошук позитивного суб-EV всередині екосистеми (бонуси, кешбек, рейкбек, статуси VIP), які перетворюють загальний (EV) в невід'ємний.
7) Практичний міні-калькулятор (паперова версія)
1. Оцініть (EV) на 100 одиниць ставки: наприклад, (+ 1. 5%) → (e=0. 015).
2. Оцініть (\sigma) на раунд (по логу сесій або з таблиці результатів). Нехай (\sigma = 0. 2) (20%).
3. Апроксимація оптимальної частки (f ^\approx\frac {e} {\sigma ^ 2} =\frac {0. 015}{0. 04}=0. 375) (37. 5%) - груба, але дає порядок. Реально візьміть ⅓ - ½ від цього (12-20%).
4. Оцініть річний темп зростання: (g \approx f e - \frac{(f\sigma)^2}{2}). При (f = 0. 2):[
g \approx 0. 2\cdot0. 015 - \frac{(0. 2\cdot0. 2)^2}{2} = 0. 003 - \frac{0. 0016}{2} = 0. 003 - 0. 0008 = 0. 0022,(0. 22% )\text {за раунд}
]Помножте на число «незалежних» раундів за рік (враховуючи ліміти і реалістичність), щоб отримати орієнтир. Якщо раундів 5 000, очікуваний лог-ріст ~ (1 - e ^ {-0. 022}\approx 2. 2%) (лог-до складної процентної інтерпретації; фактична грошова динаміка буде ширше через дисперсію).
Важливо: це спрощення. У слотах розподілу важких хвостів роблять реальний (f ^) нижче і вимагають симуляцій.
8) Поширені помилки при оцінці межі
Ігнорувати дисперсію: рахувати тільки EV і масштабувати лінійно.
Овербеттінг: ставити більше Келлі → вибухове зростання осідань, падіння довгострокової прибутковості.
Переоцінка незалежності результатів: корельовані події знижують ефективне число спроб.
Ігнор обмежень: ліміти ставок/виплат, час, кап промо - все це обрубує «ідеальний» стелю.
Зміщення вцілілого: розраховувати на «як у кращій серії», а не на середній сценарій.
9) Підсумкове формулювання «математичної межі прибутку»
Математична межа прибутку для стратегії на довгій дистанції - це максимум стійкого темпу зростання капіталу при допустимому ризику розорення і заданих обмеженнях. Він визначається:1. знаком і величиною (EV);
2. дисперсією/волатильністю результатів;
3. оптимальною часткою ставки (Келлі/частка Келлі);
4. реальними лімітами обсягу гри та інфраструктури.
Якщо (EV\le 0) - межі «вище нуля» не існує. Якщо (EV> 0), граничний стійкий ріст досягається при консервативній частці від Келлі з урахуванням обмежень і кореляцій.
10) Чек-лист для практики
Підтвердіть, що ваш загальний EV ≥ 0 (включаючи бонуси/кешбек/рейкбек/акції).
Оцініть (\sigma) і хвости розподілу (важкі хвости → знижуйте частку).
Розрахуйте (f ^) і застосовуйте частку Келлі (⅓ - ½) на старті.
Жорстко контролюйте RoR і максимальну просадку (DD).
Актуалізуйте модель при зміні правил/лімітів/ринку.
Фіксуйте сесії, оновлюйте оцінки (EV), (\sigma), (f) і «коефіцієнт досяжності».
Ця дисципліна дозволить перетворити абстрактну ідею «математичної стелі» в робочий інструмент планування, утримувати ризик під контролем і цілитися не в разові удачі, а в стійкий, відтворюваний результат.