Як розрахувати ймовірність фріспінів

Фріспіни зазвичай запускаються випаданням scatter-символів за правилом «3 + в будь-якому місці» (іноді - «на барабанах 2-4», «2 + scatter + wild», «лічильник прогресу» тощо). Знаючи частоти scatter по барабанах або маючи логи спінів, можна оцінити ймовірність тригера в одному спині (q) і з неї отримати очікуваний час очікування (геометричний розподіл).

---

1) Швидкий словник

(q) - ймовірність запуску фриспінів в одному спині.

Середній інтервал очікування: (\mathbb {E} [T] = 1/q) спінів.

Медіанний інтервал: (\mathrm{Med}(T)=\left\lceil \dfrac{\ln 0. 5} {\ln (1-q) }\right\rceil) (приблизно (0 {,} 693/q) при малому (q)).

Шанс не дочекатися за (N) спинів: ((1-q)^N).

Шанс дочекатися ≥1 рази за (N) спінів: (1-(1-q)^N).

---

2) Точний підрахунок за стрічками барабанів (strip-count)

Якщо відомі стрічки (списки символів) і число кроків на кожному барабані:

1. Для кожного барабана (i) порахуйте

[
s_i=\frac{#\text{позиций scatter на барабані} i} {#\text {всього позицій на} i}.
]

2. Правило «3 + scatter на 5 барабанах» (по одному символу на барабан):

[
q=\sum_{k=3}^{5}\ \sum_{\substack{A\subset{1..5}\	A	=k}}\ \prod_{i\in A} s_i\ \prod_{j\notin A} (1-s_j).
]

Якщо барабани «рівноімовірні» (s_i=s), то біноміально:

[
q=\sum_{k=3}^{5}\binom{5}{k}s^k(1-s)^{5-k}.
]

3. Scatter тільки на барабанах 2-4 (3 барабана):

[
q=\prod_{i=2}^{4} s_i.
]

4. Правило «2 scatter + wild замість третього»: Позначте (w_i) - ймовірність вайлда на барабані (i). Тоді шанс ≥3 «умовних» влучень:

[
q=\sum_{k=3}^{5}\ \sum_{A}\prod_{i\in A}(s_i+w_i)\ \prod_{j\notin A}(1-s_j-w_j),  ]

де (A) - підмножини барабанів розміру (k). (Часто досить наближення за першими трьома барабанами, якщо вайлди не рахуються на 4-5.)

---

3) Megaways і слоти зі змінним числом рядів

У Megaways число позицій на барабані змінюється. Практично вважати умовно за конфігурацією:

1. Для кожного барабана (i) ймовірність scatter в позиції: (p_i=\frac{#\text{scatter-тайлов}}{#\text{всех тайлів}}) (зазвичай 1/видів символів, якщо рівноважно; у деяких ігор - своя вага).

2. При висоті (h_i) шанс хоча б одного scatter на барабані: (s_i(h_i)=1-(1-p_i)^{h_i}).

3. Умовний (q (h_1,...,h_6)) - за формулами з § 2, але з (s_i (h_i)).

4. Підсумковий (q) - середнє (\mathbb {E} _ {h} [, q (h),]) за розподілом висот (краще симуляцією).

---

4) Коли таблиць немає: емпірика за логами

Якщо у вас є журнал спінів (демо або реальних): Оцінка (\hat q):

[
\ hat q =\frac {#\text {тригерів}} {#\text {спінів}}.
]

Довірчий інтервал (рідкісна подія): використовуйте байєсівську оцінку з апріором Джеффріса (\text {Beta} (0 {,} 5,0 {,} 5)) або інтервал Вілсона - вони стабільніші на малих вибірках.

Скільки потрібно спинів? При (q\approx 1/200) (0,5%) розумно збирати десятки тисяч спінів, інакше розкид великий.

Перенесення в «очікування»: медіана/середнє інтервалу з § 1.

---

5) «Комбіновані» механіки і прогрес-тригери

Лічильник прогресу (наприклад, зібрати 3 частини): це негативна біноміальна схема. Якщо шанс отримати «частину» за спин (p), то шанс завершити за (n) спінів:

[
\mathbb{P}(T\le n)=\sum_{k=3}^{n}\binom{k-1}{2} p^3 (1-p)^{k-3}.
]

Середнє очікування (\mathbb {E} [T] = 3/p), медіана - по підсумовуванню/симуляції.

Колеса/стежки перед фриспінами: спочатку шанс потрапити в колесо, потім - шанс сектора «фріспіни». Загальна ймовірність - добуток етапів (або сума за гілками дерева результатів).

---

6) Приклади розрахунків

A) 5 барабанів, правило 3 +, рівні стрічки, на кожному (s = 0 {,} 12).

[
q=\binom{5}{3}s^3(1-s)^2+\binom{5}{4}s^4(1-s)+s^5
]

[
=\ 10\cdot0{,}12^3\cdot0{,}88^2\ +\ 5\cdot0{,}12^4\cdot0{,}88\ +\ 0{,}12^5\ \approx 0{,}0167.
]

Очікування: (\mathbb {E} [T ]\approx 60) спінів; медіана (\approx 0 {,} 693/0 {,} 0167\approx 41) спін.

Шанс побачити ≥1 тригер за 100 спинів: (1-(1-0{,}0167)^{100}\approx 80%).

B) Тільки барабани 2-4: (s_2=0{,}15,\ s_3=0{,}12,\ s_4=0{,}10).

[
q=s_2 s_3 s_4=0{,}0018 \Rightarrow \mathbb{E}[T]\approx 556,\ \mathrm{Med}\approx 385.
]

C) Megaways (умовний приклад): кожен з 6 барабанів отримує (h_i\in{2..7}) рівноімовірно, (p_i=p=1/12).

Тоді (s_i (h) = 1- (1-p) ^ h).

Далі - рахувати (q (h)) за § 2 (3 + з 6) і усереднити за всіма (h) (краще Монте-Карло на 100k конфігурацій).

---

7) З ймовірності - в практику

План сесії. Знаючи медіану/75-й перцентиль очікування тригера, плануйте довжину сесії і банк під кілька таких інтервалів.

Порівняння слотів. Слоти з однаковим RTP можуть відрізнятися (q): один дає фріспіни частіше, але «слабкіше», інший - рідше, але «жирніше». Дивіться і (q), і квантилі виграшу бонусу.

Комунікація в статтях. Давайте читачеві «паспорт фріспінів»: (q), (\mathbb {E} [T]), медіана, 75-й перцентиль і «шанс побачити ≥1 за (N) спінів».

---

8) Що може спотворити оцінку

Різні RTP-версії однієї гри - (s_i) і (q) можуть відрізнятися.

Буфер/місії/кешбек не змінюють (q), але змінюють економіку - не плутайте частоту з цінністю.

Короткі вибірки для рідкісних (q) → величезні інтервали невизначеності; використовуйте байєс/Вілсон і/або симуляції.

Megaways без умовної моделі висот - краще відразу Монте-Карло.

---

9) Готовий «паспорт фріспінів» (шаблон)

Правило тригера: 3 + scatter (1/5 барабанів; або 2-4; або 2 + scatter + wild)

Оцінка (q): … (метод: strip-count/емпірика/симуляція)

Інтервали очікування: середній (1/q =...) спінів; медіана...; 75-й перцентиль...

Шанс ≥1 тригера за (N =...): …%

Коментар щодо ризику: частота vs сила бонусу; типові «пустелі».

---

Підсумок: ймовірність фриспінів можна порахувати «зверху» (за стрічками і правилами) або «знизу» (за логами/симуляції). Ключ - правильно формалізувати правило тригера, врахувати особливості механіки (обмежені барабани, вайлди-заміни, Megaways), а потім перевести (q) в зрозумілі гравцеві орієнтири за часом: середній/медіанний інтервал і шанс вкластися в обрану довжину сесії.