Чому навіть найкраща стратегія не перемагає дисперсію

В азартних іграх результат сесії - це сума незалежних випадкових результатів. У кожного результату є математичне очікування (очікувана віддача) і дисперсія (розкид). Стратегія здатна перерозподіляти ризик у часі (крива банкролла, частота «долин» і «піків»), але не здатна скасувати дисперсію і, якщо очікування негативне, - не здатна перетворити мінус в плюс.

1) Що таке дисперсія і чому вона «перемагає»

Розглянемо випадкову величину (X) - мультиплікатор за спін/ставку (у скільки разів повернулася ставка).

Очікування: (\mu=\mathbb{E}[X]) (RTP = (\mu\times100%)).

Дисперсія: (\sigma ^ 2 =\mathrm {Var} (X)) - вимірює розкид результатів.

За (N) незалежних спроб середня (\bar {X}) коливається навколо (\mu) зі стандартною помилкою

[
SE=\frac{\sigma}{\sqrt{N}}.
]

Навіть при великому (N) розкид не зникає миттєво: він падає тільки як (1/\sqrt {N}). На короткій дистанції дисперсія домінує над «логікою» будь-якої стратегії.

2) Що може і не може стратегія

Може:

змінювати профіль ризику: довжини серій програшів, глибину осідань, ймовірність рідкісних «камбеків»;
управляти часом (стоп-лосси/тейк-профіти), знижуючи експозицію;
підбирати волатильність гри під мету сесії (часті дрібниці vs рідкісні великі).

Не може:

змінити (\mu) у чесної гри без перекосів (RTP, «хаус-едж»);
прибрати дисперсію (\sigma ^ 2);
зробити залежними незалежні події (ніякий «таймінг» не народить пам'ять у RNG).

3) Чому негативне очікування не перемагається

Якщо «хаус-едж» є, то (\mu <1) (RTP <100%). Тоді очікувана сума за (N) ставок за (b):

[
\ mathbb {E} [\text {виграш}] = N\cdot b\cdot (\mu-1) <0.
]

Стратегії прогресій (мартінгейл, д'Аламбер, Фібоначчі) лише зрушують розподіл: роблять більше коротких «маленьких перемог» ціною рідкісних, але катастрофічних провалів, не змінюючи (\mu).

4) «Я ж бачив, як стратегія працює!» - про вибірку і везіння

На короткій дистанції шум великий:

закон великих чисел говорить тільки про збіжність в середньому при величезному (N);
центральна гранична теорема дає дзвін навколо (\mu), але ширина (\propto\sigma/\sqrt {N});
рідкісний великий виграш легко «перефарбує» 500-1000 спінів, створюючи ілюзію «робочого патерну».

5) Ризик розорення і банкролл

Навіть при нейтральному/позитивному очікуванні (наприклад, бонус-хантерство, переваги в ставках) дисперсія створює ризик розорення: ймовірність, що осідання досягне нуля раніше, ніж реалізується перевага.

Чим вище волатильність і частка банку в ставці, тим вище ризик розорення.

Стоп-лосс обмежує глибину осідання, але не робить очікування позитивним. Він лише фіксує ризик.

6) Розмір ставки і Келлі

Формула Келлі (для ігор з перевагою) максимізує темп зростання капіталу, вибираючи частку (f ^) від банку. Але:

якщо очікування негативне, (f ^ <0) ⇒ правильний розмір ставки - нуль (не грати);
при позитивному очікуванні Келлі знижує ризик розорення, але не прибирає дисперсію: серії і drawdown'и залишаться.

7) Розбір популярних стратегій

Мартінгейл: висока ймовірність невеликого плюса, але вибуховий ризик «стіни ліміту/банку». Розподіл стає «товстохвостим» - рідкісні величезні мінуси.

Флет-ставка: чистіше видно реальний (\mu), дисперсія проявляється «чесно».

Сходи/догон по серії: спираються на помилку гравця і «ілюзію кластерів». Ймовірності результатів не змінюються.

Стоп-лосси/тейк-профіти: інструмент контролю поведінки і часу експозиції. Очікування - колишнє.

8) Чому «ідеальне управління» не перетворює мінус в плюс

Будь-яке управління - це фільтр за часом (коли входити/виходити) і за розміром позиції. Якщо (\mu <1), то інтеграл ваших очікувань у часі залишається негативним. Ви можете:

отримати більш «гладку» криву;
рідше зустрічати «чорні лебеді» (ціною зниження шансу на рідкісні «камбеки»);
краще переживати дисперсію психологічно.
Але математика виграшу залишається колишньою.

9) Практичні висновки для гравця

1. Визначте очікування. Якщо RTP <100% і немає зовнішньої переваги - не існує стратегії, що змінює знак очікування.

2. Вибирайте волатильність під мету. Хочете «руху» - вище HF і нижче дисперсія; хочете шанс на «занос» - готуйтеся до «пустель».

3. Ставте розмір від банку, а не від емоцій. Велика частка ставки = експоненціальне зростання ризику розорення.

4. Плануйте просадки. Тримайте резерв банку під типові серії: орієнтуйтеся на медіану і 75-й перцентиль інтервалів між значущими подіями.

5. Фіксуйте правила до гри. Стоп-лосс по грошах і по спинах, тайм-аут після довгої L-series.

6. Міряйте, а не «відчувайте». Вважайте фактичний RTP, HF, квантилі інтервалів; уникайте «таймінгів» і забобонів.

10) Міні-шаблон «паспорт ризику» для ваших оглядів

RTP (паспортний): …%

HF (будь-який виграш): …%

Квантилі інтервалів ≥×10: медіана... спінів; 75-й перцентиль...

Очікуваний розкид RTP на 1000 спинів: ≈ … п. п. (для цієї волатильності)

Типові осідання (емпірика): медіана... ставок; 95-й перцентиль...

Рекомендації по ставці: ...% банку (якщо мета - утримувати ризик розорення ≤...%)

Підсумок: дисперсія - фундаментальна властивість випадковості, а не «глюк», який можна обдурити хитрою прогресією. Стратегії корисні для контролю ризику і поведінки, вибору темпу і тривалості сесії, але не для зміни очікування і не для «перемоги над дисперсією». Якщо очікування негативне - єдиний спосіб «перемогти дисперсію» в довгу - скоротити експозицію або не грати.